Exercício Resolvido de Estática
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Seis forças de mesmo módulo F atuam sobre um sólido segundo os lados de um hexágono regular de lado L. Calcule o momento destas forças em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao sólido.

Dados do problema:

  • Comprimento do lado do sólido: L;
  • Módulo da força que atua no sólido: F.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no eixo que passa pelo centro do sólido e perpendicular a este com sentido positivo anti-horário (Figura 1-A).
Como o sólido é um hexágono regular ele pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lados L e ângulos θ (Figura 1-B).

Figura 1

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então um ângulo mede (Figura 1-C)

\[ \begin{gather} \theta +\theta +\theta =180°\Rightarrow 3\theta=180°\Rightarrow \theta =\frac{180°}{3}\Rightarrow\theta =60° \end{gather} \]

Solução:

O momento de uma força é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {M=Fd} \tag{I} \end{gather} \]

Em um dos triângulos em que se divide o sólido, traçamos uma semirreta auxiliar r do centro do hexágono e perpendicular ao lado deste, forma um ângulo de 90°. Como os triângulos são equiláteros esta reta divide o ângulo central do triângulo em dois ângulos iguais (bissetriz) e também divide o lado do sólido em dois segmentos iguais (mediana), assim obtemos a altura do triângulo que é a distância (h) do centro ao lado onde é aplicada uma força (Figura 2).

Figura 2

Usando o Teorema de Pitágoras determina-se a distância da força ao centro do sólido, altura do triângulo

\[ \begin{gather} L^2=h^2+\left(\frac{L}{2}\right)^2 \\[5pt] L^2=h^2+\frac{L^2}{4} \\[5pt] h^2=L^2-\frac{L^2}{4} \end{gather} \]

multiplicando e dividindo o primeiro termo do lado direito da igualdade por 4

\[ \begin{gather} h^2=\frac{4}{4}L^2-\frac{L^2}{4} \\[5pt] h^2=\frac{4L^2-L^2}{4} \\[5pt] h^2=\frac{3L^2}{4} \\[5pt] h=\sqrt{\,\frac{3L^2}{4}\,} \\[5pt] h=L\,\frac{\sqrt{3\,}}{2} \end{gather} \]
Observação: Poderíamos obter o mesmo resultado calculando o cosseno do ângulo de 30° na Figura 1
\[ \begin{gather} \cos 30°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{h}{L} \end{gather} \]
Da Trigonometria \( \cos 30°=\frac{\sqrt{3\,}}{2} \)
\[ \begin{gather} \frac{\sqrt{3\,}}{2}=\frac{h}{L} \\[5pt] h=\frac{\sqrt{3\,}}{2}L \end{gather} \]

No ponto médio do lado do hexágono a força é perpendicular à distância ao centro, o momento da força será dado pela expressão (I), onde \( d=h=L\,\frac{\sqrt{3\,}}{2} \)

\[ \begin{gather} M_{\small F}=FL\,\frac{\sqrt{\,3\,}}{2} \tag{II} \end{gather} \]

O momento total é dado pela somatória dos momentos das seis forças que atuam no corpo

\[ \begin{gather} M=\sum_{k=1}^{6}M_{\small Fk} \\[5pt] M=M_{\small F1}+M_{\small F2}+M_{\small F3}+M_{\small F4}+M_{\small F5}+M_{\small F6} \end{gather} \]

como o sólido é simétrico e todas as forças são de igual módulo, seus momentos também são iguais

\[ \begin{gather} M=6\,M_{\small F} \tag{III} \end{gather} \]

substituindo (II) em (III)

\[ \begin{gather} M=6\times\frac{\sqrt{\,3\,}}{2}FL \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {M=3\,\sqrt{\,3\,}\,FL} \end{gather} \]
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