Exercício Resolvido de Estática
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Seis forças de mesmo módulo F atuam sobre um sólido segundo os lados de um hexágono regular de lado L. Calcule o momento destas forças em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao sólido.


Dados do problema:
  • Comprimento do lado do sólido:    L;
  • Módulo da força que atua no sólido:    F.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no eixo que passa pelo centro do sólido e perpendicular a este com sentido positivo anti-horário (Figura 1-A).
Como o sólido é um hexágono regular ele pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lados L e ângulos θ (Figura 1-B).

Figura 1

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então um ângulo mede (Figura 1-C)
\[ \begin{gather} \theta +\theta +\theta =180°\Rightarrow 3\theta=180°\Rightarrow \theta =\frac{180°}{3}\Rightarrow\theta =60° \end{gather} \]
Solução

O momento de uma força é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {M=Fd} \tag{I} \end{gather} \]
Em um dos triângulos em que se divide o sólido, traçamos uma semirreta auxiliar r do centro do hexágono e perpendicular ao lado deste, forma um ângulo de 90°. Como os triângulos são equiláteros esta reta divide o ângulo central do triângulo em dois ângulos iguais (bissetriz) e também divide o lado do sólido em dois segmentos iguais (mediana), assim obtemos a altura do triângulo que é a distância (h) do centro ao lado onde é aplicada uma força (Figura 2).

Figura 2

Usando o Teorema de Pitágoras determina-se a distância da força ao centro do sólido, altura do triângulo
\[ \begin{gather} L^{2}=h^{2}+\left(\frac{L}{2}\right)^{2}\\[5pt] L^{2}=h^{2}+\frac{L^{2}}{4}\\[5pt] h^{2}=L^{2}-\frac{L^{2}}{4} \end{gather} \]
multiplicando e dividindo o primeiro termo do lado direito da igualdade por 4
\[ \begin{gather} h^{2}=\frac{4}{4}.L^{2}-\frac{L^{2}}{4}\\[5pt] h^{2}=\frac{4L^{2}-L^{2}}{4}\\[5pt] h^{2}=\frac{3L^{2}}{4}\\[5pt] h=\sqrt{\,\frac{3L^{2}}{4}\,}\\[5pt] h=L\,\frac{\sqrt{3\,}}{2} \end{gather} \]
Observação: Poderíamos obter o mesmo resultado calculando o cosseno do ângulo de 30° na Figura 1
\[ \begin{gather} \cos 30°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{h}{L} \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria
\[ \begin{gather} \cos 30°=\frac{\sqrt{3\,}}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\sqrt{3\,}}{2}=\frac{h}{L}\\[5pt] h=\frac{\sqrt{3\,}}{2}L\ \end{gather} \]

No ponto médio do lado do hexágono a força é perpendicular à distância ao centro, o momento da força será dado pela expressão (I), onde \( d=h=L\,\frac{\sqrt{3\,}}{2} \)
\[ \begin{gather} M_{F}=FL\,\frac{\sqrt{\,3\,}}{2} \tag{II} \end{gather} \]
O momento total é dado pela somatória dos momentos das seis forças que atuam no corpo
\[ \begin{gather} M=\sum_{k=1}^{6}M_{Fk}\\[5pt] M=M_{F1}+M_{F2}+M_{F3}+M_{F4}+M_{F5}+M_{F6} \end{gather} \]
como o sólido é simétrico e todas as forças são de igual módulo, seus momentos também são iguais
\[ \begin{gather} M=6\,M_{F} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo (II) em (III)
\[ \begin{gather} M=6.\frac{\sqrt{\,3\,}}{2}FL \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {M=3\,\sqrt{\,3\,}\,FL} \end{gather} \]
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