Seis forças de mesmo módulo F atuam sobre um sólido segundo os lados de um hexágono regular de
lado L. Calcule o momento destas forças em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular
ao sólido.
Dados do problema:
- Comprimento do lado do sólido: L;
- Módulo da força que atua no sólido: F.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência no eixo que passa pelo centro do sólido e perpendicular a este com
sentido positivo anti-horário (Figura 1-A).
Como o sólido é um hexágono regular ele pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lados
L
e ângulos θ (Figura 1-B).
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então um ângulo mede (Figura 1-C)
\[
\begin{gather}
\theta +\theta +\theta =180°\Rightarrow 3\theta=180°\Rightarrow \theta =\frac{180°}{3}\Rightarrow\theta =60°
\end{gather}
\]
Solução
O momento de uma força é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{M=Fd} \tag{I}
\end{gather}
\]
Em um dos triângulos em que se divide o sólido, traçamos uma semirreta auxiliar
r do centro do
hexágono e perpendicular ao lado deste, forma um ângulo de 90°. Como os triângulos são equiláteros esta reta
divide o ângulo central do triângulo em dois ângulos iguais (bissetriz) e também divide o lado do sólido em
dois segmentos iguais (mediana), assim obtemos a altura do triângulo que é a distância (
h) do centro
ao lado onde é aplicada uma força (Figura 2).
Usando o
Teorema de Pitágoras determina-se a distância da força ao centro do sólido, altura do
triângulo
\[
\begin{gather}
L^{2}=h^{2}+\left(\frac{L}{2}\right)^{2}\\[5pt]
L^{2}=h^{2}+\frac{L^{2}}{4}\\[5pt]
h^{2}=L^{2}-\frac{L^{2}}{4}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo o primeiro termo do lado direito da igualdade por 4
\[
\begin{gather}
h^{2}=\frac{4}{4}.L^{2}-\frac{L^{2}}{4}\\[5pt]
h^{2}=\frac{4L^{2}-L^{2}}{4}\\[5pt]
h^{2}=\frac{3L^{2}}{4}\\[5pt]
h=\sqrt{\,\frac{3L^{2}}{4}\,}\\[5pt]
h=L\,\frac{\sqrt{3\,}}{2}
\end{gather}
\]
Observação: Poderíamos obter o mesmo resultado calculando o cosseno do ângulo de 30° na
Figura 1
\[
\begin{gather}
\cos 30°=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{h}{L}
\end{gather}
\]
Lembrando da
Trigonometria
\[
\begin{gather}
\cos 30°=\frac{\sqrt{3\,}}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\sqrt{3\,}}{2}=\frac{h}{L}\\[5pt]
h=\frac{\sqrt{3\,}}{2}L\
\end{gather}
\]
No ponto médio do lado do hexágono a força é perpendicular à distância ao centro, o momento da força
será dado pela expressão (I), onde
\( d=h=L\,\frac{\sqrt{3\,}}{2} \)
\[
\begin{gather}
M_{F}=FL\,\frac{\sqrt{\,3\,}}{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
O momento total é dado pela somatória dos momentos das seis forças que atuam no corpo
\[
\begin{gather}
M=\sum_{k=1}^{6}M_{Fk}\\[5pt]
M=M_{F1}+M_{F2}+M_{F3}+M_{F4}+M_{F5}+M_{F6}
\end{gather}
\]
como o sólido é simétrico e todas as forças são de igual módulo, seus momentos também são iguais
\[
\begin{gather}
M=6\,M_{F} \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo (II) em (III)
\[
\begin{gather}
M=6.\frac{\sqrt{\,3\,}}{2}FL
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{M=3\,\sqrt{\,3\,}\,FL}
\end{gather}
\]