Seis forças de mesmo módulo F atuam sobre um sólido segundo os lados de um hexágono regular de
lado L. Calcule o momento destas forças em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular
ao sólido.
Dados do problema:
- Comprimento do lado do sólido: L;
- Módulo da força que atua no sólido: F.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência no eixo que passa pelo centro do sólido e perpendicular a este com
sentido positivo anti-horário (Figura 1-A).
Como o sólido é um hexágono regular ele pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lados L
e ângulos θ (figura 1-B).
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então um ângulo mede (Figura 1-C)
\[
\begin{gather}
\theta +\theta +\theta =180°\Rightarrow 3\theta=180°\Rightarrow \theta =\frac{180°}{3}\Rightarrow\theta =60°
\end{gather}
\]
Solução:
O momento de uma força é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{M=Fd} \tag{I}
\end{gather}
\]
Consideremos a força
\( \vec F \)
aplicada a um vértice do hexágono, está força pode ser decomposta em duas componentes, uma componente
paralela
\( {\vec F}_{\small P} \)
ao segmento L que vai do centro do hexágono ao vértice considerado e outra componente
perpendicular ou normal
\( {\vec F}_{\small N} \),
forma um ângulo de 90°. Somente a componente normal contribui para o momento do sólido.
O ângulo entre a força
\( \vec F \)
e a componente paralela
\( {\vec F}_{\small P} \)
é 60°, é o mesmo ângulo do triângulo no interior do hexágono (Figura 2), estes ângulos são opostos
pelo vértice.
A componente normal é dada por
\[
\begin{gather}
F_{\small N}=F\operatorname{sen}60°
\end{gather}
\]
Da
Trigonometria
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}60°=\frac{\sqrt{3\,}}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{\small N}=\frac{\sqrt{3\,}}{2}F \tag{II}
\end{gather}
\]
O momento da componente normal da força será dado pela expressão (I)
\[
\begin{gather}
M_{\small F_{\small N}}=F_{\small N}d \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo (II) em (III) e a distância da força ao eixo central igual a L
\[
\begin{gather}
M_{\small F_{\small N}}=\frac{\sqrt{3\,}}{2}FL \tag{IV}
\end{gather}
\]
O momento total é dado pela somatória dos momentos das seis forças que atuam no corpo
\[
\begin{gather}
M=\sum_{k=1}^{6}M_{\small F_{\small N}k} \\[5pt]
M=M_{\small F_{\small N}1}+M_{\small F_{\small N}2}+M_{\small F_{\small N}3}+M_{\small F_{\small N}4}+M_{\small F_{\small N}5}+M_{\small F_{\small N}6}
\end{gather}
\]
como o sólido é simétrico e todas as forças são de igual módulo, seus momentos também são iguais
\[
\begin{gather}
M=6\,M_{\small F_{\small N}} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo (IV) em (V)
\[
\begin{gather}
M=6\times\frac{\sqrt{3\,}}{2}FL
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{M=3\,\sqrt{3\,}\,FL}
\end{gather}
\]
EN
