Exercício Resolvido de Estática
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Seis forças de mesmo módulo F atuam sobre um sólido segundo os lados de um hexágono regular de lado L. Calcule o momento destas forças em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao sólido.


Dados do problema:
  • Comprimento do lado do sólido:    L;
  • Módulo da força que atua no sólido:    F.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no eixo que passa pelo centro do sólido e perpendicular a este com sentido positivo anti-horário (Figura 1-A).
Como o sólido é um hexágono regular ele pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lados L e ângulos θ (figura 1-B).

Figura 1

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então um ângulo mede (Figura 1-C)
\[ \begin{gather} \theta +\theta +\theta =180°\Rightarrow 3\theta=180°\Rightarrow \theta =\frac{180°}{3}\Rightarrow\theta =60° \end{gather} \]
Solução

O momento de uma força é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {M=Fd} \tag{I} \end{gather} \]
Consideremos a força \( \vec{F} \) aplicada a um vértice do hexágono, está força pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela \( {\vec F}_{P} \) ao segmento L que vai do centro do hexágono ao vértice considerado e outra componente perpendicular ou normal \( {\vec F}_{N} \), forma um ângulo de 90°. Somente a componente normal contribui para o momento do sólido. O ângulo entre a força \( \vec{F} \) e a componente paralela \( {\vec F}_{P} \) é 60°, é o mesmo ângulo do triângulo no interior do hexágono (Figura 2), estes ângulos são opostos pelo vértice.

Figura 2

A componente normal é dada por
\[ \begin{gather} F_{N}=F\operatorname{sen}60° \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}60°=\frac{\sqrt{3\,}}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_{N}=\frac{\sqrt{3\,}}{2}F \tag{II} \end{gather} \]
O momento da componente normal da força será dado pela expressão (I)
\[ \begin{gather} M_{F_{N}}=F_{N}d \tag{III} \end{gather} \]
substituindo (II) em (III) e a distância da força ao eixo central igual a L
\[ \begin{gather} M_{F_{N}}=\frac{\sqrt{3\,}}{2}FL \tag{IV} \end{gather} \]
O momento total é dado pela somatória dos momentos das seis forças que atuam no corpo
\[ \begin{gather} M=\sum_{k=1}^{6}M_{F_{N}k}\\[5pt] M=M_{F_{N}1}+M_{F_{N}2}+M_{F_{N}3}+M_{F_{N}4}+M_{F_{N}5}+M_{F_{N}6} \end{gather} \]
como o sólido é simétrico e todas as forças são de igual módulo, seus momentos também são iguais
\[ \begin{gather} M=6\,M_{F_{N}} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo (IV) em (V)
\[ \begin{gather} M=6.\frac{\sqrt{3\,}}{2}FL \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {M=3\,\sqrt{3\,}\,FL} \end{gather} \]
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