Uma semiesfera de peso P repousa sobre um plano horizontal liso. Na extremidade A do
diâmetro AB é aplicada uma força F que obriga a semiesfera a se inclinar de maneira que
AB passa formar com o plano horizontal um ângulo α. Calcular esse ângulo a sabendo
que o centro de gravidade da semiesfera encontra-se a uma distância do centro O igual a 3/8
do raio.
Dados do problema:
- Peso da semiesfera: P;
- Força aplicada: F;
- Raio da semiesfera: dOA=R;
- Posição do centro de gravidade: \( d_{\mathrm{CG}}=\frac{3}{8}R \);
Esquema do problema:
É dado no problema que a semiesfera está inclinada de um ângulo
α, o segmento
\( \overline{OA} \)
(Figura 1-A) forma com o plano horizontal esse ângulo
α, o segmento
\( \overline{OC} \)
é vertical e forma um ângulo
β com a superfície da semiesfera
\[
\begin{gather}
\alpha +\beta =90°\\[5pt]
\beta =90°-\alpha
\end{gather}
\]
O segmento
\( \overline{OD} \),
que passa pelo centro de gravidade da semiesfera, é perpendicular à superfície da semiesfera,
forma um ângulo de 90°
\[
\begin{gather}
\gamma +\beta =90°\\[5pt]
\gamma =90°-\beta
\end{gather}
\]
substituindo o valor de
β encontrado acima
\[
\begin{gather}
\gamma =90°-(90°-\alpha)\\[5pt]
\gamma=90°-90°+\alpha \\[5pt]
\gamma =\alpha
\end{gather}
\]
O problema nos diz que o centro de gravidade da semiesfera está localizado a
\( \frac{3}{8} \)
de unidade a partir do ponto
O (Figura 1-B), a distância entre o segmento vertical que passa por
O e o segmento que passa pelo centro de gravidade, onde está aplicada a força peso, é
r1, pelo quadro em destaque em vermelho
\[
\begin{gather}
\operatorname{sen}\alpha =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{r_{1}} {\frac{3}{8}R}\\[5pt]
r_{1}=\frac{3}{8}R\,\operatorname{sen}\alpha \tag{I}
\end{gather}
\]
A distância entre o segmento vertical que passa por
O e o segmento que passa pela extremidade
da semiesfera, onde está aplicada a força
\( \vec{F} \),
é
r2 (Figura 1-B)
\[
\begin{gather}
\cos \alpha =\frac{\text{cateto adjacente}}{\text {hipotenusa}}=\frac{r_{2}}{R}\\[5pt]
r_{2}=R\,\cos \alpha \tag{II}
\end{gather}
\]
Como a força peso e a força aplicada na extremidade da semiesfera são verticais podemos representar
o sistema como uma barra horizontal, dada pela projeção da superfície da semiesfera, apoiada no
ponto
O (Figura 1-C).
Adotamos o ponto
O como origem do sistema de referência, vamos adotar o sentido horário como
sendo positivo.
Solução
O momento de uma força é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{M=Fd} \tag{III}
\end{gather}
\]
“Esquecendo” a força
\( \vec{F} \)
e considerando apenas a força peso
\( \vec{P} \)
ela faz a barra girar no sentido contrário da orientação escolhida, o momento desta força
será negativo, pela expressão (I)
\[
\begin{gather}
M_{P}=-Pr_{1} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (I) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
M_{P}=-\frac{{3}}{8}P\,R\,\operatorname{sen}\alpha \tag{V}
\end{gather}
\]
“Esquecendo” a força peso
\( \vec{P} \)
e considerando apenas a força
\( \vec{F} \),
ela faz girar no mesmo sentido da orientação escolhida, o momento desta força será positivo,
pela expressão (I)
\[
\begin{gather}
M_{F}=Fr_{2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
M_{F}=FR\,\cos \alpha \tag{VII}
\end{gather}
\]
Usando a condição de que a somatória dos momentos é nula
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum M=0} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (V) e (VII) na condição (VIII)
\[
\begin{gather}
M_{P}+M_{F}=0\\[5pt]
-{\frac{3}{8}}P\,R\,\operatorname{sen}\alpha+F\,R\,\cos \alpha =0\\[5pt]
F\,\cancel{R}\,\cos \alpha=\frac{3}{8}\,P\,\cancel{R}\,\operatorname{sen}\alpha\\[5pt]
\frac{\operatorname{sen}\alpha }{\cos \alpha }=\frac{8}{3}\frac{F}{P}
\end{gather}
\]
Lembrando da Trigonometria
\( \operatorname{tg}\alpha =\dfrac{\operatorname{sen}\alpha }{\cos \alpha } \)
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\alpha =\frac{8}{3}\frac{F}{P}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\alpha =\operatorname{arc tg}\,\frac{8}{3}\frac{F}{P}}
\end{gather}
\]