Exercício Resolvido de Estática
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Uma semiesfera de peso P repousa sobre um plano horizontal liso. Na extremidade A do diâmetro AB é aplicada uma força F que obriga a semiesfera a se inclinar de maneira que AB passa formar com o plano horizontal um ângulo α. Calcular esse ângulo a sabendo que o centro de gravidade da semiesfera encontra-se a uma distância do centro O igual a 3/8 do raio.

Dados do problema:

  • Peso da semiesfera: P;
  • Força aplicada: F;
  • Raio da semiesfera: dOA=R;
  • Posição do centro de gravidade: \( d_{cg}=\frac{3}{8}R \);

Esquema do problema:

É dado no problema que a semiesfera está inclinada de um ângulo α, o segmento \( \overline{OA} \) (Figura 1-A) forma com o plano horizontal esse ângulo α, o segmento \( \overline{OC} \) é vertical e forma um ângulo β com a superfície da semiesfera

\[ \begin{gather} \alpha +\beta =90°\\[5pt] \beta =90°-\alpha \end{gather} \]

O segmento \( \overline{OD} \), que passa pelo centro de gravidade da semiesfera, é perpendicular à superfície da semiesfera, forma um ângulo de 90°

\[ \begin{gather} \gamma +\beta =90°\\[5pt] \gamma =90°-\beta \end{gather} \]

substituindo o valor de β encontrado acima

\[ \begin{gather} \gamma =90°-(90°-\alpha)\\[5pt] \gamma=90°-90°+\alpha \\[5pt] \gamma =\alpha \end{gather} \]

O problema nos diz que o centro de gravidade da semiesfera está localizado a \( \frac{3}{8} \) de unidade a partir do ponto O (Figura 1-B), a distância entre o segmento vertical que passa por O e o segmento que passa pelo centro de gravidade, onde está aplicada a força peso, é r1, pelo quadro em destaque em vermelho

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\alpha =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{r_{1}} {\frac{3}{8}R}\\[5pt] r_{1}=\frac{3}{8}R\,\operatorname{sen}\alpha \tag{I} \end{gather} \]
Figura 1

A distância entre o segmento vertical que passa por O e o segmento que passa pela extremidade da semiesfera, onde está aplicada a força \( \vec F \), é r2 (Figura 1-B)

\[ \begin{gather} \cos \alpha =\frac{\text{cateto adjacente}}{\text {hipotenusa}}=\frac{r_{2}}{R}\\[5pt] r_{2}=R\,\cos \alpha \tag{II} \end{gather} \]

Como a força peso e a força aplicada na extremidade da semiesfera são verticais podemos representar o sistema como uma barra horizontal, dada pela projeção da superfície da semiesfera, apoiada no ponto O (Figura 1-C).
Adotamos o ponto O como origem do sistema de referência, vamos adotar o sentido horário como sendo positivo.

Solução:

O momento de uma força é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {M=Fd} \tag{III} \end{gather} \]

“Esquecendo” a força \( \vec F \) e considerando apenas a força peso \( \vec{P} \) ela faz a barra girar no sentido contrário da orientação escolhida, o momento desta força será negativo, pela expressão (I)

\[ \begin{gather} M_{\small P}=-Pr_{1} \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a expressão (I) na expressão (IV)

\[ \begin{gather} M_{\small P}=-\frac{{3}}{8}P\,R\,\operatorname{sen}\alpha \tag{V} \end{gather} \]

“Esquecendo” a força peso \( \vec{P} \) e considerando apenas a força \( \vec F \), ela faz girar no mesmo sentido da orientação escolhida, o momento desta força será positivo, pela expressão (I)

\[ \begin{gather} M_{\small F}=Fr_{2} \tag{VI} \end{gather} \]

substituindo a expressão (II) na expressão (VI)

\[ \begin{gather} M_{\small F}=FR\,\cos\alpha \tag{VII} \end{gather} \]

Usando a condição de que a somatória dos momentos é nula

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum M=0} \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo as expressões (V) e (VII) na condição (VIII)

\[ \begin{gather} M_{\small P}+M_{\small F}=0\\[5pt] -{\frac{3}{8}}P\,R\,\operatorname{sen}\alpha+F\,R\,\cos \alpha =0\\[5pt] F\,\cancel{R}\,\cos \alpha=\frac{3}{8}\,P\,\cancel{R}\,\operatorname{sen}\alpha\\[5pt] \frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}=\frac{8}{3}\frac{F}{P} \end{gather} \]
Da Trigonometria \( \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha} \)
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\alpha=\frac{8}{3}\frac{F}{P} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\alpha =\operatorname{arc tg}\,\frac{8}{3}\frac{F}{P}} \end{gather} \]
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