Exercício Resolvido de Estática
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Uma semiesfera de peso P repousa sobre um plano horizontal liso. Na extremidade A do diâmetro AB é aplicada uma força F que obriga a semiesfera a se inclinar de maneira que AB passa formar com o plano horizontal um ângulo α. Calcular esse ângulo a sabendo que o centro de gravidade da semiesfera encontra-se a uma distância do centro O igual a 3/8 do raio.


Dados do problema:
  • Peso da semiesfera:    P;
  • Força aplicada:    F;
  • Raio da semiesfera:    dOA=R;
  • Posição do centro de gravidade:    \( d_{CG}=\frac{3}{8}R \);
Esquema do problema:

O problema nos diz que o centro de gravidade da semiesfera está localizado a \( \frac{3}{8} \) de unidade a partir do ponto O (Figura 1-A).

Figura 1

Consideramos a força peso \( \vec{P} \) concentrada nesse ponto e a força \( \vec{F} \) aplicada no ponto A a uma distância igual ao raio da semiesfera (Figura 1-B). Quando a força \( \vec{F} \) é aplicada a semiesfera se inclina até que o diâmetro AB forme um ângulo α em relação à horizontal.
Adotamos o ponto O como origem do sistema de referência, vamos adotar o sentido horário como sendo positivo.

Solução

O momento de uma força é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {M=Fd} \tag{I} \end{gather} \]
“Esquecendo” a força \( \vec{F} \), a força peso \( \vec{P} \), pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao raio que passa pelo centro de gravidade \( {\vec P}_{P} \) e outra componente perpendicular ou normal \( {\vec P}_{N} \). O ângulo entre a horizontal e o segmento AB é dado igual à α, o ângulo entre o segmento AB e a vertical que passa por O chamamos de β, então a soma de α e β deve ser 90°, são ângulos complementares, então β deve ser \( \alpha +\beta =90°\Rightarrow \beta =90°-\alpha \).

Figura 2

Como a componente normal da força peso está na mesma direção do segmento AB e a força peso é vertical, o ângulo entre elas também é β, são ângulos correspondes. Apenas a componente normal contribui para que a semiesfera gire em torno do ponto O, como esta componente faz girar no sentido contrário da orientação escolhida o momento desta força será negativo, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} M_{P_{N}}=-P_{N}d_{CG} \tag{II} \end{gather} \]
A componente normal da força peso é dada por
\[ \begin{gather} P_{N}=P\cos \beta \\[5pt] P_{N}=P\cos (90°-\alpha ) \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria    \( \cos (a-b)=\cos a\,\cos b+\operatorname{sen}a\,\operatorname{sen}b \)
\[ \cos (a-b)=\cos a\,\cos b+\operatorname{sen}a\,\operatorname{sen}b \]
\[ \begin{gather} P_{N}=P(\cos 90°\cos \alpha +\operatorname{sen}90°\operatorname{sen}\alpha)\\[5pt] P_{N}=P(0.\cos \alpha +1.\operatorname{sen}\alpha) \\[5pt] P_{N}=P\operatorname{sen}\alpha \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[ \begin{gather} M_{\,P_{N}}=-P\,\operatorname{sen}\alpha \,d_{CG} \tag{IV} \end{gather} \]
“Esquecendo” a força peso \( \vec{P} \), a força \( \vec{F} \), pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao raio que passa pelo centro O \( {\vec F}_{P} \) e outra componente perpendicular ou normal \( {\vec F}_{N} \). O ângulo entre a horizontal e o segmento AB é dado igual à α, o ângulo entre o segmento AB e a vertical que passa por A chamamos de β, então a soma de α e β deve ser 90°, são ângulos complementares, então β deve ser \( \alpha +\beta =90°\Rightarrow \beta =90°-\alpha \).
Figura 3

Apenas a componente normal contribui para que a semiesfera gire em torno do ponto O, como esta componente faz girar no mesmo sentido da orientação escolhida o momento desta força será positivo, pela expressão (I)
\[ \begin{gather} M_{F_{N}}=F_{N}\,d_{OA} \tag{V} \end{gather} \]
A componente normal da força é dada por
\[ \begin{gather} F_{N}=F\operatorname{sen}\beta\\[5pt] F_{N}=F\operatorname{sen}(90°-\alpha) \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria    \( \operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen}a\,\cos b-\operatorname{sen}b\,\cos a \)
\[ \operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen}a\,\cos b-\operatorname{sen}b\,\cos a \]
\[ \begin{gather} F_{N}=F\,(\operatorname{sen}90°\cos \alpha -\operatorname{sen}\alpha \cos 90°)\\[5pt] F_{N}=F\,(1.\cos \alpha -\operatorname{sen}\alpha .0) \\[5pt] F_{N}=F\,\cos \alpha \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[ \begin{gather} M_{F_{N}}=F\cos \alpha \,d_{OA} \tag{VII} \end{gather} \]
Usando a condição de que a somatória dos momentos é nula
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum M=0} \tag{VIII} \end{gather} \]
substituindo as expressões (IV) e (VII) na condição (VIII)
\[ \begin{gather} M_{P_{N}}+M_{F_{N}}=0\\[5pt] -P\,\operatorname{sen}\alpha d_{OG}+F \cos \alpha d_{OA}=0\\[5pt] -P\,\operatorname{sen}\alpha \frac{3}{8} R+F \cos \alpha R=0\\[5pt] F\cancel{R}\cos \alpha =\frac{3}{8}\cancel{R}\,P\operatorname{sen}\alpha\\[5pt] \frac{\operatorname{sen}\alpha }{\cos \alpha }=\frac{8}{3}\frac{F}{P} \end{gather} \]
Lembrando da Trigonometria    \( \operatorname{tg}\alpha =\dfrac{\operatorname{sen}\alpha }{\cos \alpha } \)
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\alpha =\frac{8}{3}\frac{F}{P} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\alpha =\operatorname{arc tg}\,\frac{8}{3}\frac{F}{P}} \end{gather} \]
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