Uma semiesfera de peso P repousa sobre um plano horizontal liso. Na extremidade A do
diâmetro AB é aplicada uma força F que obriga a semiesfera a se inclinar de maneira que
AB passa formar com o plano horizontal um ângulo α. Calcular esse ângulo a sabendo que o
centro de gravidade da semiesfera encontra-se a uma distância do centro O igual a 3/8 do raio.
Dados do problema:
- Peso da semiesfera: P;
- Força aplicada: F;
- Raio da semiesfera: dOA=R;
- Posição do centro de gravidade: \( d_{CG}=\frac{3}{8}R \);
Esquema do problema:
O problema nos diz que o centro de gravidade da semiesfera está localizado a
\( \frac{3}{8} \)
de unidade a partir do ponto
O (Figura 1-A).
Consideramos a força peso
\( \vec{P} \)
concentrada nesse ponto e a força
\( \vec{F} \)
aplicada no ponto
A a uma distância igual ao raio da semiesfera (Figura 1-B). Quando a força
\( \vec{F} \)
é aplicada a semiesfera se inclina até que o diâmetro
AB forme um ângulo α em relação à
horizontal.
Adotamos o ponto
O como origem do sistema de referência, vamos adotar o sentido horário como sendo
positivo.
Solução
O momento de uma força é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{M=Fd} \tag{I}
\end{gather}
\]
“Esquecendo” a força
\( \vec{F} \),
a força peso
\( \vec{P} \),
pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao raio que passa pelo centro de
gravidade
\( {\vec P}_{P} \)
e outra componente perpendicular ou normal
\( {\vec P}_{N} \).
O ângulo entre a horizontal e o segmento AB é dado igual à α, o ângulo entre o segmento
AB e a vertical que passa por O chamamos de β, então a soma de α e β deve
ser 90°, são ângulos complementares, então β deve ser
\( \alpha +\beta =90°\Rightarrow \beta =90°-\alpha \).
Figura 2
Como a componente normal da força peso está na mesma direção do segmento
AB e a força peso é
vertical, o ângulo entre elas também é β, são ângulos correspondes. Apenas a componente normal
contribui para que a semiesfera gire em torno do ponto
O, como esta componente faz girar no
sentido contrário da orientação escolhida o momento desta força será negativo, aplicando a expressão (I)
\[
\begin{gather}
M_{P_{N}}=-P_{N}d_{CG} \tag{II}
\end{gather}
\]
A componente normal da força peso é dada por
\[
\begin{gather}
P_{N}=P\cos \beta \\[5pt]
P_{N}=P\cos (90°-\alpha )
\end{gather}
\]
Lembrando da
Trigonometria
\( \cos (a-b)=\cos a\,\cos b+\operatorname{sen}a\,\operatorname{sen}b \)
\[ \cos (a-b)=\cos a\,\cos b+\operatorname{sen}a\,\operatorname{sen}b \]
\[
\begin{gather}
P_{N}=P(\cos 90°\cos \alpha +\operatorname{sen}90°\operatorname{sen}\alpha)\\[5pt]
P_{N}=P(0.\cos \alpha +1.\operatorname{sen}\alpha) \\[5pt]
P_{N}=P\operatorname{sen}\alpha \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
M_{\,P_{N}}=-P\,\operatorname{sen}\alpha \,d_{CG} \tag{IV}
\end{gather}
\]
“Esquecendo” a força peso
\( \vec{P} \),
a força
\( \vec{F} \),
pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela ao raio que passa pelo centro O
\( {\vec F}_{P} \)
e outra componente perpendicular ou normal
\( {\vec F}_{N} \).
O ângulo entre a horizontal e o segmento AB é dado igual à α, o ângulo entre o segmento
AB e a vertical que passa por A chamamos de β, então a soma de α e β deve
ser 90°, são ângulos complementares, então β deve ser
\( \alpha +\beta =90°\Rightarrow \beta =90°-\alpha \).
Apenas a componente normal contribui para que a semiesfera gire em torno do ponto
O, como esta
componente faz girar no mesmo sentido da orientação escolhida o momento desta força será positivo,
pela expressão (I)
\[
\begin{gather}
M_{F_{N}}=F_{N}\,d_{OA} \tag{V}
\end{gather}
\]
A componente normal da força é dada por
\[
\begin{gather}
F_{N}=F\operatorname{sen}\beta\\[5pt]
F_{N}=F\operatorname{sen}(90°-\alpha)
\end{gather}
\]
Lembrando da
Trigonometria
\( \operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen}a\,\cos b-\operatorname{sen}b\,\cos a \)
\[ \operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen}a\,\cos b-\operatorname{sen}b\,\cos a \]
\[
\begin{gather}
F_{N}=F\,(\operatorname{sen}90°\cos \alpha -\operatorname{sen}\alpha \cos 90°)\\[5pt]
F_{N}=F\,(1.\cos \alpha -\operatorname{sen}\alpha .0) \\[5pt]
F_{N}=F\,\cos \alpha \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VI) na expressão (V)
\[
\begin{gather}
M_{F_{N}}=F\cos \alpha \,d_{OA} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Usando a condição de que a somatória dos momentos é nula
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum M=0} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IV) e (VII) na condição (VIII)
\[
\begin{gather}
M_{P_{N}}+M_{F_{N}}=0\\[5pt]
-P\,\operatorname{sen}\alpha d_{OG}+F \cos \alpha d_{OA}=0\\[5pt]
-P\,\operatorname{sen}\alpha \frac{3}{8} R+F \cos \alpha R=0\\[5pt]
F\cancel{R}\cos \alpha =\frac{3}{8}\cancel{R}\,P\operatorname{sen}\alpha\\[5pt]
\frac{\operatorname{sen}\alpha }{\cos \alpha }=\frac{8}{3}\frac{F}{P}
\end{gather}
\]
Lembrando da Trigonometria
\( \operatorname{tg}\alpha =\dfrac{\operatorname{sen}\alpha }{\cos \alpha } \)
\[
\begin{gather}
\operatorname{tg}\alpha =\frac{8}{3}\frac{F}{P}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\alpha =\operatorname{arc tg}\,\frac{8}{3}\frac{F}{P}}
\end{gather}
\]