Três polias giram solidárias fixas no mesmo eixo, nelas estão enroladas cordas de massas desprezíveis
que sustentam esferas. Dados: polia 1, r1=0,2 m e m1=2,7 kg,
polia 2, r2=0,4 m, polia 3, m3=1,8 kg. Determinar:
a) Se m2=4,0 kg quanto deve valer o raio da polia 3 para que o módulo do momento das
forças que atuam no sistema, em relação ao eixo, seja nulo;
b) Se r3=0,8 m quanto deve valer a massa presa à polia 2 para que o sistema gire no
sentido horário em relação ao eixo.
Dados do problema:
- Raio da polia 1: r1=0,2 m;
- Massa da polia 1: m1=2,7 kg;
- Raio da polia 2: r2=0,4 m;
- Massa da polia 3: m3=1,8 kg.
Esquema do problema:
Este sistema é equivalente a uma barra, de massa desprezível, apoiada no centro, com as forças peso
\( {\vec P}_{1} \),
\( {\vec P}_{2} \)
e
\( {\vec P}_{3} \),
devido às massas
m1,
m2 e
m3, atuando às distâncias
r1,
r2 e
r3. Adotamos o sentido anti-horário de
rotação do corpo como sendo positivo (Figura 1-B).
Como queremos que o momento do sistema seja nulo, temos a condição
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum M=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
O momento de uma força em relação ao ponto ao qual se deseja calcular o momento é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{M=Fd} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde
F é a força que atua no sistema, no problema as forças peso, e
d é a distância entre o
ponto de aplicação da força e o ponto em relação ao qual se deseja calcular o momento, no problema os raios
das polias.
a) Em relação ao apoio, as forças peso
\( {\vec P}_{1} \)
e
\( {\vec P}_{3} \)
tentam fazer o sistema girar no sentido anti-horário positivo e a força peso
\( {\vec P}_{2} \)
tenta girar no sentido horário negativo (Figura 1-B). Aplicando a expressão (II) na condição (I)
\[
\begin{gather}
P_{1}r_{1}-P_{2}r_{2}+P_{3}r_{3}=0
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
m_{1}gr_{1}-m_{2}gr_{2}+m_{3}gr_{3}=0\\[5pt]
g(m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3})=0\\[5pt]
m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3}=\frac{0}{g}\\[5pt]
m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3}=0 \tag{III}\\[5pt]
2,7.0,2-4,0.0,4+1,8 r_{3}=0\\[5pt]
0,54-1,6+1,8 r_{3}=0\\[5pt]
-1,06+1,8 r_{3}=0\\[5pt]
1,8 r_{3}=1,06\\[5pt]
r_{3}=\frac{1,06}{1,8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{r_{3}\simeq 0,6\;\text{m}}
\end{gather}
\]
b) Usando a expressão (III)
\[
\begin{gather}
m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3}=0\\[5pt]
2,7.0,2-m_{2} .0,4+1,8.0,8=0\\[5pt]
0,54-0,4m_{2}+1,44=0\\[5pt]
-0,4m_{2}+1,98=0\\[5pt]
0,4m_{2}=1,98\\[5pt]
m_{2}=\frac{1,98}{0,4}\\[5pt]
m_{2}=4,95 \;\text{kg}
\end{gather}
\]
Se
m2=4,95 kg o sistema estará em equilíbrio, para que gire no sentido horário é
preciso que a massa 2 seja maior que este valor
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{m_{2}>4,95\;\text{kg}}
\end{gather}
\]