Exercício Resolvido de Estática
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Três polias giram solidárias fixas no mesmo eixo, nelas estão enroladas cordas de massas desprezíveis que sustentam esferas. Dados: polia 1, r1=0,2 m e m1=2,7 kg, polia 2, r2=0,4 m, polia 3, m3=1,8 kg. Determinar:
a) Se m2=4,0 kg quanto deve valer o raio da polia 3 para que o módulo do momento das forças que atuam no sistema, em relação ao eixo, seja nulo;
b) Se r3=0,8 m quanto deve valer a massa presa à polia 2 para que o sistema gire no sentido horário em relação ao eixo.


Dados do problema:
  • Raio da polia 1:    r1=0,2 m;
  • Massa da polia 1:    m1=2,7 kg;
  • Raio da polia 2:    r2=0,4 m;
  • Massa da polia 3:    m3=1,8 kg.
Esquema do problema:

Este sistema é equivalente a uma barra, de massa desprezível, apoiada no centro, com as forças peso \( {\vec P}_{1} \), \( {\vec P}_{2} \) e \( {\vec P}_{3} \), devido às massas m1, m2 e m3, atuando às distâncias r1, r2 e r3. Adotamos o sentido anti-horário de rotação do corpo como sendo positivo (Figura 1-B).

Figura 1

Como queremos que o momento do sistema seja nulo, temos a condição
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum M=0} \tag{I} \end{gather} \]
O momento de uma força em relação ao ponto ao qual se deseja calcular o momento é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {M=Fd} \tag{II} \end{gather} \]
onde F é a força que atua no sistema, no problema as forças peso, e d é a distância entre o ponto de aplicação da força e o ponto em relação ao qual se deseja calcular o momento, no problema os raios das polias.

a) Em relação ao apoio, as forças peso \( {\vec P}_{1} \) e \( {\vec P}_{3} \) tentam fazer o sistema girar no sentido anti-horário positivo e a força peso \( {\vec P}_{2} \) tenta girar no sentido horário negativo (Figura 1-B). Aplicando a expressão (II) na condição (I)
\[ \begin{gather} P_{1}r_{1}-P_{2}r_{2}+P_{3}r_{3}=0 \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} m_{1}gr_{1}-m_{2}gr_{2}+m_{3}gr_{3}=0\\[5pt] g(m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3})=0\\[5pt] m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3}=\frac{0}{g}\\[5pt] m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3}=0 \tag{III}\\[5pt] 2,7.0,2-4,0.0,4+1,8 r_{3}=0\\[5pt] 0,54-1,6+1,8 r_{3}=0\\[5pt] -1,06+1,8 r_{3}=0\\[5pt] 1,8 r_{3}=1,06\\[5pt] r_{3}=\frac{1,06}{1,8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {r_{3}\simeq 0,6\;\text{m}} \end{gather} \]

b) Usando a expressão (III)
\[ \begin{gather} m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3}=0\\[5pt] 2,7.0,2-m_{2} .0,4+1,8.0,8=0\\[5pt] 0,54-0,4m_{2}+1,44=0\\[5pt] -0,4m_{2}+1,98=0\\[5pt] 0,4m_{2}=1,98\\[5pt] m_{2}=\frac{1,98}{0,4}\\[5pt] m_{2}=4,95 \;\text{kg} \end{gather} \]
Se m2=4,95 kg o sistema estará em equilíbrio, para que gire no sentido horário é preciso que a massa 2 seja maior que este valor
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m_{2}>4,95\;\text{kg}} \end{gather} \]
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