Para o sistema em equilíbrio na figura, determine as tensões nas cordas A e B sabendo que o
corpo C tem 100 N.
Dado do problema:
- Peso do corpo C: P = 100 N.
Esquema do problema:
As forças que atuam no sistema são a força peso
\(\vec{P} \)
no bloco C que aponta para baixo e as tensões nas cordas. A corda que sustenta o bloco apenas
transmite a força peso do bloco para o ponto onde está presa às outras cordas.
A corda A faz um ângulo de 60° com o teto, traçando uma linha horizontal que passa pelo ponto
onde está preso o corpo C, temos que a força de tensão
\( {\vec T}_{A} \)
também forma um ângulo de 60° com a horizontal, estes ângulos são alternos internos.
A corda B faz um ângulo de 60° com a parede vertical, o ângulo entre a força de tensão
\( {\vec T}_{B} \)
e a corda que prende o bloco C também é 60°, estes ângulos são alternos internos. O ângulo entre
a linha horizontal e a força de tensão
\( {\vec T}_{B} \)
é de 30° com a horizontal, são ângulos complementares, somam 90°.
Solução
Em primeiro lugar vamos decompor as forças que atuam no sistema em sistema de eixos coordenados
xy
(Figura 2). A força peso
\( \vec{P} \)
tem apenas a componente
\( \vec{P}_{y} \)
na direção
y negativo. A força de tensão
\( {\vec T}_{A} \)
possui a componente
\( {\vec T}_{Ax} \)
na direção
x positivo e a componente
\( {\vec T}_{Ay} \)
na direção
y positivo. A força tensão
\( {\vec T}_{B} \)
possui a componente
\( {\vec T}_{Bx} \)
na direção
x negativo e a componente
\( {\vec T}_{By} \)
na direção
y negativo.
Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que atuam sobre ele é igual à zero
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum \vec{F}=0}
\end{gather}
\]
Figura 2
Direção
x:
\( -\vec{T}_{Bx}+\vec{T}_{Ax}=0 \)
Direção
y:
\( -\vec{P}_{y}-\vec{T}_{By}+\vec{T}_{Ay}=0 \)
\[
\begin{gather}
-T_{B}\cos 30°+T_{A}\cos60°=0 \\
-P-T_{B}\operatorname{sen}30°+T_{A}\operatorname{sen}60°=0 \\
\end{gather}
\]
Lembrando da
Trigonometria
\[ \cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos 60°=\frac{1}{2} \]
\[ \operatorname{sen}30°=\frac{1}{2} \]
\[ \operatorname{sen}60°\frac{\sqrt{3}}{2} \]
estas expressões formam um sistema de duas equações a duas incógnitas,
TA e
TB
\[
\left\{
\begin{array}{l}
-\dfrac{\sqrt{3}}{2}T_{B}+\dfrac{1}{2}T_{A}=0 \\
-100-\dfrac{1}{2}T_{B}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}T_{A}=0
\end{array}
\right.
\]
isolando
TA na primeira equação
\[
\begin{gather}
\frac{1}{\cancel{2}}T_{A}=\frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}}T_{B}\\[5pt]
T_{A}=\sqrt{3}\;T_{B} \tag{I}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (I) na segunda equação do sistema temos
TB
\[
\begin{gather}
-100-\frac{1}{2}T_{B}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}\;T_{B}=0\\[5pt]
\frac{-{1}}{2}T_{B}+\frac{3}{2}T_{B}=100\\[5pt]
\frac{2}{2}T_{B}=100
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T_{B}=100\;\text{N}}
\end{gather}
\]
substituindo o valor encontrado acima na expressão (I) obtemos
TA
\[
\begin{gather}
T_{A}=\sqrt{3}.100
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{T_{A}\simeq 173\;\text{N}}
\end{gather}
\]