Exercício Resolvido de Estática
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Para o sistema em equilíbrio na figura, determine as tensões nas cordas A e B sabendo que o corpo C tem 100 N.

Dado do problema:

  • Peso do corpo C: P = 100 N.
Esquema do problema:

As forças que atuam no sistema são a força peso \( \vec P \) do bloco C que aponta para baixo e as tensões nas cordas. A corda que sustenta o bloco apenas transmite a força peso do bloco para o ponto onde está fixa às outras cordas.
A corda A faz um ângulo de 60° com o teto, traçando uma linha horizontal que passa pelo ponto onde está presa ao corpo C, temos que a força de tensão \( {\vec T}_{\small A} \) também forma um ângulo de 60° com a horizontal, estes ângulos são alternos internos.
A corda B faz um ângulo de 60° com a parede vertical, o ângulo entre a força de tensão \( {\vec T}_{\small B} \) e a corda que sustenta o bloco C também é 60°, estes ângulos são alternos internos. O ângulo entre a linha horizontal e a força de tensão \( {\vec T}_{\small B} \) é de 30° com a horizontal, são ângulos complementares, somam 90°.
Figura 1

Solução:

Desenhamos as forças em um sistema em sistema de eixos coordenados xy e decompomos as forças nessas direções (Figura 2). A força peso \( \vec P \) tem apenas a componente na direção y negativo. A força de tensão \( {\vec T}_{\small A} \) possui a componente \( {\vec T}_{{\small A}_x} \) na direção x positivo e a componente \( {\vec T}_{{\small A}_y} \) na direção y positivo. A força tensão \( {\vec T}_{\small B} \) possui a componente \( {\vec T}_{{\small B}_x} \) na direção x negativo e a componente \( {\vec T}_{{\small B}_y} \) na direção y negativo.
Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que atuam sobre ele é igual à zero
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \vec F=0} \end{gather} \]
Figura 2
\[ \begin{gather} {\vec T}_{\small A}+{\vec T}_{\small B}+\vec P=0 \\[5pt] {\vec T}_{{\small A}_x}+{\vec T}_{{\small A}_y}-{\vec T}_{{\small B}_x}-{\vec T}_{{\small B}_y}-\vec P=0 \tag{I} \end{gather} \]
  • Direção x:
\[ \begin{gather} {\vec T}_{{\small A}_x}=T_{\small A}\cos 60° \tag{II} \\[10pt] {\vec T}_{{\small B}_x}=T_{\small B}\cos 30° \tag{III} \end{gather} \]

A força peso não possui componente na direção x.

  • Direção y:
\[ \begin{gather} {\vec T}_{{\small A}_y}=T_{\small A}\operatorname{sen}60° \tag{IV} \\[10pt] {\vec T}_{{\small B}_y}=T_{\small B}\operatorname{sen}30° \tag{V} \end{gather} \]

Substituindo as equações (II), (III), (IV) e (V) na equação (I) e separando as componentes nas direções x e y

  • Direção x:
\[ \begin{gather} T_{\small A}\cos 60°-T_{\small B}\cos 30°=0 \end{gather} \]
  • Direção y:
\[ \begin{gather} T_{\small A}\operatorname{sen}60°-T_{\small B}\operatorname{sen}30°-P=0 \end{gather} \]
Da Trigonometria
\( \cos 30°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \), \( \sin 30°=\dfrac{1}{2} \),

\( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \), \( \operatorname{sen}60°\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \).
\[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}T_{\small A}-\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}T_{\small B}=0 \\ \dfrac{\sqrt{3\;}}{2}T_{\small A}-\dfrac{1}{2}T_{\small B}-100=0 \end{array} \right. \]

Este é um sistema de duas equações a duas incógnitas (TA e TB). Isolando o valor de TA na primeira equação do sistema e substituindo na segunda equação

\[ \begin{gather} \frac{1}{\cancel 2}T_{\small A}=\frac{\sqrt{3\;}}{\cancel 2}T_{\small B}\\[5pt] T_{\small A}=\sqrt{3\;}\;T_{\small B} \tag{VI} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\sqrt{3\;}}{2}\times\sqrt{3\;}\;T_{\small B}-\frac{1}{2}T_{\small B}-100=0 \\[5pt] \frac{3}{2}T_{\small B}-\frac{1}{2}T_{\small B}=100 \\[5pt] \frac{2}{2}T_{\small B}=100 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small B}=100\;\mathrm N} \end{gather} \]

substituindo o valor encontrado acima na equação (VI), obtemos TA

\[ \begin{gather} T_{\small A}=\sqrt{3\;}\times 100 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_{\small A} \approx 173\;\mathrm N} \end{gather} \]
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