Um guindaste de peso Pg, tem um vão D entre os trilhos no qual está
apoiado. Uma carga de peso Pc encontra-se a uma distância d de um dos trilhos.
Determinar a força de reação do guindaste nos trilhos ao levantar a carga com uma aceleração
a=g, onde g é também a aceleração da gravidade.
Dados do problema:
- Peso do guindaste: Pg;
- Peso da carga: Pc;
- Distância entre os trilhos do guindaste: D;
- Distância da carga a um dos trilhos: d;
- Aceleração de subida da carga: g;
- Aceleração da gravidade: g.
Esquema do problema:
Na carga atuam a força peso
\( {\vec P}_{c} \)
e a força de tração
\( \vec{T} \),
esta é transmitida pelo cabo para o guindaste (Figura 1-A).
Este sistema é equivalente a uma barra apoiada nas extremidades, de peso igual ao peso do guindaste
\( {\vec P}_{g} \)
concentrado no centro no ponto
\( \frac{D}{2} \).
A força de tração no cabo
\( \vec{T} \)
devido à carga atua a uma distância
d de uma das extremidades. As forças de reação
\( {\vec F}_{1} \)
e
\( {\vec F}_{2} \)
estão aplicadas nos pontos de apoio das extremidades. Adota-se o sentido anti-horário de rotação do
corpo como sendo positivo (Figura 1-B).
Adota-se o sistema de referência no ponto onde está a força de reação
\( {\vec F}_{1} \).
Solução
Separando a carga do guindaste e estudando as forças que atuam nela podemos aplicar a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}}
\end{gather}
\]
Adotando o sentido positivo para cima (Figura 2)
\[
\begin{gather}
T-P_{c}=ma \tag{I}
\end{gather}
\]
Figura 2
onde
m é a massa da carga, a força peso devido à carga é dada por
\[
\begin{gather}
P_{c}=ma
\end{gather}
\]
a massa será
\[
\begin{gather}
m=\frac{P_{c}}{a} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
T-P_{c}=\frac{P_{c}}{\cancel{a}}\,\cancel{a}\\[5pt]
T-P_{c}=P_{c}\\[5pt]
T=P_{c}+P_{c}\\[5pt]
T=2P_{c} \tag{III}
\end{gather}
\]
Para que a barra permaneça em equilíbrio devemos ter as seguintes condições
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum F_{i}=0} \tag{IV-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum M_{i}=0} \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
Desenhando as forças que atuam na viga em um sistema de eixos coordenados
xy (Figura 3) e
aplicando a condição de (IV-a)
\[
\begin{gather}
F_{1}+F_{2}-T-P_{g}=0
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III)
\[
\begin{gather}
F_{1}+F_{2}-2P_{c}-P_{g}=0\tag{V}
\end{gather}
\]
Figura 3
O momento de uma força é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{M=Fd} \tag{VI}
\end{gather}
\]
- Momento da força de reação \( {\vec{F}}_{1} \):
Aplicando a expressão (V), temos a força
F representada pela força de reação
\( {\vec F}_{1} \)
e a distância será nula,
d = 0, a força de reação está aplicada no mesmo ponto tomado como referência
\[
\begin{gather}
M_{{F}_{1}}=0 \tag{VII}
\end{gather}
\]
- Momento da força de tração que sustenta a carga:
Aplicando a expressão (V), temos a força
F representada força de tração
\( \vec{T} \)
que está aplicada num ponto a uma distância
d do ponto de referência, como ela tende a fazer a
barra girar contra o sentido escolhido o momento será negativo (Figura 4)
\[
\begin{gather}
M_{T}=-Td \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
M_{T}=-2P_{c}d \tag{IX}
\end{gather}
\]
- Momento da força peso da barra:
Aplicando a expressão (V), temos a força
F representada força peso da barra
\( {\vec P}_{g} \)
que está aplicada no ponto médio da barra, como ela tende a fazer a barra girar contra o sentido
escolhido o momento será negativo (Figura 5)
\[
\begin{gather}
M_{P_{g}}=-P_{g}\,\frac{D}{2} \tag{X}
\end{gather}
\]
- Momento da força de reação \( {\vec{F}}_{2} \):
Aplicando a expressão (V), temos a força
F representada pela força de reação
\( {\vec F}_{2} \)
e a distância será o comprimento da barra,
d=
D, como ela tende a fazer a barra girar no
sentido escolhido o momento será positivo (Figura 6)
\[
\begin{gather}
M_{{F}_{2}}=F_{2}D \tag{XI}
\end{gather}
\]
Aplicando a segunda condição de (IV)
\[
\begin{gather}
M_{F_{1}}+M_{T}+M_{P_{g}}+M_{F_{2}}=0
\end{gather}
\]
substituindo as expressões de (VII), (IX), (XI) e (XI)
\[
\begin{gather}
0-2P_{c}d-P_{g}\,\frac{D}{2}+F_{2}\,D=0\\[5pt]
-2P_{c}d-P_{g}\,\frac{D}{2}+F_{2}\,D=0 \tag{XII}
\end{gather}
\]
As expressões (V) e (XII) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas
F1 e
F2
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
\,F_{1}+F_{2}-2P_{c}-P_{g}=0\\
\,-2P_{c}d-P_{g}\,\dfrac{D}{2}+F_{2}\,D=0
\end{array}
\right.\
\end{gather}
\]
da segunda equação temos o valor de
F2
\[
\begin{gather}
-2P_{c}d-P_{g}\,\frac{D}{2}+F_{2}\,D=0\\[5pt]
F_{2}\,D=2P_{c}d+P_{g}\,\frac{D}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{2}=2P_{c}\frac{d}{D}+\frac{P_{g}}{2}}
\end{gather}
\]
Substituindo este valor na primeira equação
\[
\begin{gather}
F_{1}+\frac{1}{D}\,\left(\,2P_{c}d+P_{g}\,\frac{D}{2}\,\right)-2P_{c}-P_{g}=0\\[5pt]
F_{1}=\frac{-{1}}{D}\,\left(\,2P_{c}d+P_{g}\,\frac{D}{2}\,\right)+2P_{c}+P_{g}\\[5pt]
F_{1}=\frac{-{1}}{D}\,2P_{c}d-\frac{1}{D}\,P_{g}\,\frac{D}{2}+2P_{c}+P_{g}\\[5pt]
F_{1}=-2\,\frac{P_{c}d}{D}+2P_{c}-\frac{P_{g}}{2}+P_{g}
\end{gather}
\]
colocando em evidência 2
Pc do primeiro e segundo termos do lado direito da igualdade, e
multiplicando e dividindo o quarto termo por 2
\[
\begin{gather}
F_{1}=2\,P_{c}\,\left(\,-\frac{d}{D}+1\,\right)-\frac{P_{g}}{2}+P_{g}\,.\frac{2}{2}\\[5pt]
F_{1}=2\,P_{c}\,\left(\,1-\frac{d}{D}\,\right)+\frac{2P_{g}}{2}-\frac{P_{g}}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{1}=2\,P_{c}\,\left(\,1-\frac{d}{D}\,\right)+\frac{P_{g}}{2}}
\end{gather}
\]