Exercício Resolvido de Estática
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Uma viga de 3 m de comprimento e massa de 120 kg está apoiada nas suas extremidades A e B, e suporta duas cargas de 12 kg e 8 kg a 1 m e 2 m, respectivamente, do apoio A. Determinar as reações nos apoios.




Dados do problema:
  • Comprimento da viga:    L = 3 m;
  • Massa da viga:    mV = 120 kg;
  • Massa da carga aplicada em C:    mC = 12 kg;
  • Distância AC:    dAC = 1 m;
  • Massa da carga aplicada em D:    mD = 8 kg;
  • Distância AD:    dAD = 2 m;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no centro da viga, onde está aplicada a força peso \( {\vec{P}}_{V} \), positivo para o sentido horário de rotação (Figura 1).

Figura 1

As forças de reação dos apoios estão aplicadas nos pontos A e B (\( {\vec F}_{A} \) e \( {\vec F}_{B} \)), as cargas aplicadas na viga são representadas pelas massas nos pontos C e D (\( m_{C} \) e \( m_{D} \)).

Solução

Para que a viga permaneça em equilíbrio devemos ter as seguintes condições
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum F_{i}=0} \tag{I-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum M_{i}=0} \tag{I-b} \end{gather} \]
As cargas aplicadas nos pontos C e D são representadas pelas forças peso das massas colocadas nessas posições, a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{II} \end{gather} \]
Aplicando a expressão (II) para as massas mC e mD
\[ \begin{gather} F_{C}=P_{C}=m_{C}g\\[5pt] F_{C}=12.9,8\\[5pt] F_{C}=117,6\;\text{N} \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_{D}=P_{D}=m_{D}g\\[5pt] F_{D}=8.9,8 \\[5pt] F_{D}=78,4\;\text{N} \tag{IV} \end{gather} \]
a força peso da viga será
\[ \begin{gather} P_{V}=m_{V}g \\[5pt] P_{V}=120.9,8\\[5pt] P_{V}=1176,0\;\text{N} \tag{V} \end{gather} \]
Desenhando as forças que atuam na viga em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 2) e aplicando a condição (I-a)
\[ \begin{gather} F_{A}+F_{B}-F_{C}-F_{D}-P_{V}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores de (III), (IV) e (V)
\[ \begin{gather} F_{A}+F_{B}-117,6-78,4-1176,0=0\\[5pt] F_{A}+F_{B}-1372=0\\[5pt] F_{A}+F_{B}=1372 \tag{VI} \end{gather} \]

Figura 2

O momento de uma força é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {M=Fd} \tag{VII} \end{gather} \]
  • Momento da força peso da viga:
Aplicando a expressão (VII), a força F é representada pela força peso da viga PV e a distância será nula, d=0, a força peso está aplicada no mesmo ponto tomado como referência
\[ \begin{gather} M_{{P}_{V}}=0 \tag{VIII} \end{gather} \]
  • Momento da força de reação no apoio A:
O ponto de referência G está no centro da viga, a distância do ponto A ao centro será (Figura 3)
\[ \begin{gather} d_{AG}=\frac{L}{2}\\[5pt] d_{AG}=\frac{3}{2}\\[5pt] d_{AG}=1,5\;\text{m} \tag{IX} \end{gather} \]
Figura 3

Aplicando a expressão (VII), a força F é representada pela força de reação do apoio no ponto A, FA, e a distância será dada pelo valor encontrado em (IX). A força de reação tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientação escolhida, o momento será positivo
\[ \begin{gather} M_{{F}_{A}}=F_{A}d_{AG}\\[5pt] M_{{F}_{A}}=1,5F_{A} \tag{X} \end{gather} \]
  • Momento da força devido à carga no ponto C:
A distância do ponto C ao ponto de referência G será (Figura 4)
\[ \begin{gather} d_{AG}=d_{AC}+d_{CG}\\[5pt] 1,5=1+d_{CG}\\[5pt] d_{CG}=1,5-1\\[5pt] d_{CG}=0,5\;\text{m}\tag{XI} \end{gather} \]
Figura 4

Aplicando a expressão (VII), a força F é representada pela força peso da carga aplicada no ponto C, FC, encontrada na expressão (III), e a distância será dada pelo valor encontrado em (XI). A força peso tende a fazer a viga girar no sentido contrário da orientação escolhida, o momento será negativo
\[ \begin{gather} M_{{F}_{C}}=-F_{C}d_{CG}\\[5pt] M_{{F}_{C}}=-117.6.0,5\\[5pt] M_{{F}_{C}}=-58.8\;\text{N.m} \tag{XII} \end{gather} \]
  • Momento da força devido à carga no ponto D:
A distância do ponto D ao ponto de referência G será (Figura 5)
\[ \begin{gather} d_{AG}=d_{AD}-d_{DG}\\[5pt] 1,5=2-d_{DG}\\[5pt] d_{DG}=2-1,5\\[5pt] d_{DG}=0,5\;\text{m} \tag{XIII} \end{gather} \]
Figura 5

Aplicando a expressão (VII), a força F é representada pela força peso da carga aplicada no ponto D, FD, encontrada na expressão (IV), e a distância será dada pelo valor encontrado em (XIII). A força peso tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientação escolhida, o momento será positivo
\[ \begin{gather} M_{{F}_{D}}=F_{D}d_{DG}\\[5pt] M_{{F}_{D}}=78,4.0,5\\[5pt] M_{{F}_{D}}=39,2\;\text{N.m} \tag{XIV} \end{gather} \]
  • Momento da força de reação no apoio B:
O ponto de referência G está no centro da viga (Figura 6), a distância do ponto B ao centro será o mesmo valor encontrado na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} d_{AG}=d_{BG} \end{gather} \]
Figura 6

Aplicando a expressão (VII), a força F é representada pela força de reação do apoio no ponto B, FB, e a distância será dada pelo valor encontrado em (IX). A força de reação tende a fazer a viga girar no sentido contrário da orientação escolhida, o momento será negativo
\[ \begin{gather} M_{{F}_{B}}=-F_{B}d_{BG}\\[5pt] M_{{F}_{B}}=-1,5F_{B} \tag{XV} \end{gather} \]
Aplicando a condição de (I-b)
\[ \begin{gather} M_{P_{V}}+M_{F_{A}}+M_{F_{C}}+M_{F_{D}}+M_{P_{B}}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores de (VIII), (X), (XII), (XIV) e (XV)
\[ \begin{gather} 0+1,5F_{A}-58,8+39,2-1,5F_{B}=0\\[5pt] 1,5F_{A}-19,6-1,5F_{B}=0\\[5pt] 1,5F_{A}-1,5F_{B}=19,6 \tag{XVI} \end{gather} \]
As expressões (VI) e (XVI) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas, FA e FB
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} \,F_{A}+F_{B}=1372\\ \,1,5F_{A}-1,5F_{B}=19,6 \end{array} \right. \end{gather} \]
isolando o valor de FA na primeira equação e substituindo na segunda
\[ \begin{gather} F_{A}=1372-F_{B} \tag{XVII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} 1,5\,\left(1372-F_{B}\right)-1,5F_{B}=19,6\\[5pt] 1,5.1372-1,5F_{B}-1,5F_{B}=19,6\\[5pt] 2058-3F_{B}=20\\[5pt] 3F_{B}=2058-19,6\\[5pt] 3F_{B}=2038,4\\[5pt] F_{B}=\frac{2038,4}{3} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{B}\approx 679,5\;\text{N}} \end{gather} \]
substituindo este valor na expressão (XVII)
\[ \begin{gather} F_{A}=1372-679,5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{B}\approx 692,5\;\text{N}} \end{gather} \]
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