Uma viga de 3 m de comprimento e massa de 120 kg está apoiada nas suas extremidades
A e
B, e
suporta duas cargas de 12 kg e 8 kg a 1 m e 2 m, respectivamente, do apoio
A. Determinar as reações
nos apoios.
Dados do problema:
- Comprimento da viga: L = 3 m;
- Massa da viga: mV = 120 kg;
- Massa da carga aplicada em C: mC = 12 kg;
- Distância AC: dAC = 1 m;
- Massa da carga aplicada em D: mD = 8 kg;
- Distância AD: dAD = 2 m;
- Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência no centro da viga, onde está aplicada a força peso
\( {\vec{P}}_{V} \),
positivo para o sentido horário de rotação (Figura 1).
As forças de reação dos apoios estão aplicadas nos pontos
A e
B
(
\( {\vec F}_{A} \) e
\( {\vec F}_{B} \)),
as cargas aplicadas na viga são representadas pelas massas nos pontos
C e
D
(
\( m_{C} \) e
\( m_{D} \)).
Solução
Para que a viga permaneça em equilíbrio devemos ter as seguintes condições
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum F_{i}=0} \tag{I-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum M_{i}=0} \tag{I-b}
\end{gather}
\]
As cargas aplicadas nos pontos
C e
D são representadas pelas forças peso das massas colocadas
nessas posições, a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{II}
\end{gather}
\]
Aplicando a expressão (II) para as massas
mC e
mD
\[
\begin{gather}
F_{C}=P_{C}=m_{C}g\\[5pt]
F_{C}=12.9,8\\[5pt]
F_{C}=117,6\;\text{N} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{D}=P_{D}=m_{D}g\\[5pt]
F_{D}=8.9,8 \\[5pt]
F_{D}=78,4\;\text{N} \tag{IV}
\end{gather}
\]
a força peso da viga será
\[
\begin{gather}
P_{V}=m_{V}g \\[5pt]
P_{V}=120.9,8\\[5pt]
P_{V}=1176,0\;\text{N} \tag{V}
\end{gather}
\]
Desenhando as forças que atuam na viga em um sistema de eixos coordenados
xy (Figura 2) e
aplicando a condição (I-a)
\[
\begin{gather}
F_{A}+F_{B}-F_{C}-F_{D}-P_{V}=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores de (III), (IV) e (V)
\[
\begin{gather}
F_{A}+F_{B}-117,6-78,4-1176,0=0\\[5pt]
F_{A}+F_{B}-1372=0\\[5pt]
F_{A}+F_{B}=1372 \tag{VI}
\end{gather}
\]
Figura 2
O momento de uma força é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{M=Fd} \tag{VII}
\end{gather}
\]
- Momento da força peso da viga:
Aplicando a expressão (VII), a força
F é representada pela força peso da viga
PV
e a distância será nula,
d=0, a força peso está aplicada no mesmo ponto tomado como referência
\[
\begin{gather}
M_{{P}_{V}}=0 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
- Momento da força de reação no apoio A:
O ponto de referência
G está no centro da viga, a distância do ponto
A ao centro será
(Figura 3)
\[
\begin{gather}
d_{AG}=\frac{L}{2}\\[5pt]
d_{AG}=\frac{3}{2}\\[5pt]
d_{AG}=1,5\;\text{m} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Aplicando a expressão (VII), a força
F é representada pela força de reação do apoio no ponto
A,
FA, e a distância será dada pelo valor encontrado em (IX). A força de reação
tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientação escolhida, o momento será positivo
\[
\begin{gather}
M_{{F}_{A}}=F_{A}d_{AG}\\[5pt]
M_{{F}_{A}}=1,5F_{A} \tag{X}
\end{gather}
\]
- Momento da força devido à carga no ponto C:
A distância do ponto
C ao ponto de referência
G será (Figura 4)
\[
\begin{gather}
d_{AG}=d_{AC}+d_{CG}\\[5pt]
1,5=1+d_{CG}\\[5pt]
d_{CG}=1,5-1\\[5pt]
d_{CG}=0,5\;\text{m}\tag{XI}
\end{gather}
\]
Aplicando a expressão (VII), a força
F é representada pela força peso da carga aplicada
no ponto
C,
FC, encontrada na expressão (III), e a distância será dada pelo valor
encontrado em (XI). A força peso tende a fazer a viga girar no sentido contrário da orientação escolhida,
o momento será negativo
\[
\begin{gather}
M_{{F}_{C}}=-F_{C}d_{CG}\\[5pt]
M_{{F}_{C}}=-117.6.0,5\\[5pt]
M_{{F}_{C}}=-58.8\;\text{N.m} \tag{XII}
\end{gather}
\]
- Momento da força devido à carga no ponto D:
A distância do ponto
D ao ponto de referência
G será (Figura 5)
\[
\begin{gather}
d_{AG}=d_{AD}-d_{DG}\\[5pt]
1,5=2-d_{DG}\\[5pt]
d_{DG}=2-1,5\\[5pt]
d_{DG}=0,5\;\text{m} \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Aplicando a expressão (VII), a força
F é representada pela força peso da carga aplicada no ponto
D,
FD, encontrada na expressão (IV), e a distância será dada pelo valor encontrado
em (XIII). A força peso tende a fazer a viga girar no mesmo sentido da orientação escolhida, o momento será
positivo
\[
\begin{gather}
M_{{F}_{D}}=F_{D}d_{DG}\\[5pt]
M_{{F}_{D}}=78,4.0,5\\[5pt]
M_{{F}_{D}}=39,2\;\text{N.m} \tag{XIV}
\end{gather}
\]
- Momento da força de reação no apoio B:
O ponto de referência
G está no centro da viga (Figura 6), a distância do ponto
B ao centro
será o mesmo valor encontrado na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
d_{AG}=d_{BG}
\end{gather}
\]
Aplicando a expressão (VII), a força
F é representada pela força de reação do apoio no ponto
B,
FB, e a distância será dada pelo valor encontrado em (IX). A força de reação
tende a fazer a viga girar no sentido contrário da orientação escolhida, o momento será negativo
\[
\begin{gather}
M_{{F}_{B}}=-F_{B}d_{BG}\\[5pt]
M_{{F}_{B}}=-1,5F_{B} \tag{XV}
\end{gather}
\]
Aplicando a condição de (I-b)
\[
\begin{gather}
M_{P_{V}}+M_{F_{A}}+M_{F_{C}}+M_{F_{D}}+M_{P_{B}}=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores de (VIII), (X), (XII), (XIV) e (XV)
\[
\begin{gather}
0+1,5F_{A}-58,8+39,2-1,5F_{B}=0\\[5pt]
1,5F_{A}-19,6-1,5F_{B}=0\\[5pt]
1,5F_{A}-1,5F_{B}=19,6 \tag{XVI}
\end{gather}
\]
As expressões (VI) e (XVI) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas,
FA e
FB
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
\,F_{A}+F_{B}=1372\\
\,1,5F_{A}-1,5F_{B}=19,6
\end{array}
\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor de
FA na primeira equação e substituindo na segunda
\[
\begin{gather}
F_{A}=1372-F_{B} \tag{XVII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
1,5\,\left(1372-F_{B}\right)-1,5F_{B}=19,6\\[5pt]
1,5.1372-1,5F_{B}-1,5F_{B}=19,6\\[5pt]
2058-3F_{B}=20\\[5pt]
3F_{B}=2058-19,6\\[5pt]
3F_{B}=2038,4\\[5pt]
F_{B}=\frac{2038,4}{3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{B}\approx 679,5\;\text{N}}
\end{gather}
\]
substituindo este valor na expressão (XVII)
\[
\begin{gather}
F_{A}=1372-679,5
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{B}\approx 692,5\;\text{N}}
\end{gather}
\]