O gráfico representa a variação das forças F1 e Fat
(força de atrito) que atuam em um corpo que se desloca sobre o eixo Ox. Calcular:
a) O trabalho da força F1 para arrastar o corpo nos primeiros 10 m;
b) O trabalho da força de atrito enquanto o corpo é arrastado nos primeiros 10 m;
c) O trabalho da força resultante para arrastar o corpo nos primeiros 15 m.
Solução:
a) O trabalho da força
F1 será numericamente igual à área do trapézio sob a reta que
representa esta força (em azul) e o eixo Ox entre 0 e 10 m, marcada em cinza na Figura 1. A área do
trapézio é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A=\frac{(B+b)h}{2}}
\end{gather}
\]
onde temos a base maior
B = 60, base menor
b = 20 e altura
h = 10
\[
\begin{gather}
W\overset{\mathrm N}{=}A=\frac{(60+20)\times 10}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{W=400\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
b) O trabalho da força de atrito
Fat será numericamente igual à área do triângulo sob
o eixo
Ox e limitado pela reta que representa a força de atrito (em vermelho) entre 0 e 10 m,
como mostrado no desenho da figura 2 abaixo. A área do triângulo (em cinza) será
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A=\frac{Bh}{2}}
\end{gather}
\]
onde temos a base do triângulo
B = 10 e altura
h = -20
\[
\begin{gather}
W\overset{\mathrm N}{=}A=\frac{10\times(-20)}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{W=-100\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
c) O trabalho da força resultante R será dado pela soma das áreas que representam o trabalho da
força F1 acima do eixo Ox (área 1 na Figura 3) e da força de atrito
Fat abaixo do eixo Ox (áreas 2 e 3 na Figura 3) entre 0 e 15 m.
Para o cálculo da área acima do eixo
Ox precisamos saber o valor da força
F1
em 15 m, para isso vamos determinar a equação da reta que representa a força
F1. A
equação da reta é
\[
\begin{gather}
F(x)=ax+b
\end{gather}
\]
Para determinar os coeficientes
a e
b vemos do gráfico que a reta deve passar pelos pontos
\( (x_1,F_1)=(0,20) \)
e
\( (x_2,F_2)=(10,60) \),
substituindo esses valores na equação da reta acima, teremos o seguinte sistema
\[
\left\{
\begin{matrix}
\;20=a\times 0+b \\
\;60=a\times 10+b
\end{matrix}
\right.
\]
este é um sistema de duas equações a duas incógnitas, os coeficientes a e b, da primeira
equação temos que b = 20, substituindo esse valor na segunda equação
\[
\begin{gather}
10a+20=60 \\[5pt]
10a=60-20 \\[5pt]
a=\frac{40}{10} \\[5pt]
a=4
\end{gather}
\]
substituindo os valores de a e b na equação da reta, a força será dada pela expressão
\[
\begin{gather}
F(x)=4x+20
\end{gather}
\]
para x = 15 m a força será igual a
\[
\begin{gather}
F(15)=4\times 15+20 \\[5pt]
F(15)=60+20 \\[5pt]
F(15)=80\;\mathrm N
\end{gather}
\]
Então o trabalho da força F1 entre 0 e 15 m será numericamente igual à área (1) do
trapézio em cinza-claro, onde base maior B = 60, base menor b = 20 e altura h = 15
\[
\begin{gather}
W_1\overset{\mathrm N}{=}A=\frac{(60+20)\times 15}{2}\\[5pt]
W_1=750\;\mathrm J
\end{gather}
\]
O trabalho da força de atrito pode ser calculado em duas partes, primeiro pela área do triângulo entre 0 e
10 m (área (2) na Figura 3 acima em cinza-escuro) já calculado no item (b) e igual a
W2 = −100 J. A segunda parte deve ser calculada pela área (3) do triângulo entre
10 m e 15 m, para essa área temos base do triângulo b = 5 e altura h = 20
\[
\begin{gather}
W_3\overset{\mathrm N}{=}A=\frac{5.(-20)}{2} \\[5pt]
W_3=-50\;\mathrm J
\end{gather}
\]
Finalmente o trabalho da força resultante, R, será dado pela soma das três partes calculadas
\[
\begin{gather}
W_{\small R}=W_1+W_2+W_3 \\[5pt]
W_{\small R}=750+(-100)+(-50)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{W_{\small R}=600\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
