Exercício Resolvido de Energia, Trabalho e Potência
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Um automóvel de 1200 kg viaja por uma estrada horizontal a uma velocidade constante de 90 km/h, em dado momento o automóvel inicia uma subida com inclinação de 10° com a horizontal. Sendo dados o coeficiente de atrito entre o pneu e a estrada igual a 0,5 e o coeficiente aerodinâmico do automóvel igual a 0,4, se a potência do motor é mantida constante durante todo o trajeto, determine:
a) A resultante das forças dissipativas exercidas sobre o veículo;
b) A potência desenvolvida pelo motor em HP (horsepower);
c) A velocidade que o veículo mantém na subida em km/h.
Dados sen 10° = 0,1736, g = 10 m/s2, 1 HP = 746 W.


Dados do problema:
  • Massa do automóvel:    m = 1200 kg;
  • velocidade do automóvel:    v1 = 90 km/h;
  • Inclinação da estrada:    θ = 10°;
  • Coeficiente de atrito:    μ = 0,5;
  • Coeficiente aerodinâmico:    c = 0,4 unidades S.I.;
  • Aceleração local da gravidade:    g = 10 m/s2.
Esquema do problema:

Na Figura 1 são mostrados os elementos dados no problema e a força de atrito \( {\vec{F}}_{at} \) e a força de resistência do ar \( {\vec{F}}_{r} \).

Figura 1
Solução

Em primeiro lugar devemos converter a velocidade do carro dada em quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s) usada no Sistema Internacional (S.I.)
\[ \begin{gather} v_{1}=90\;\frac{\cancel{\text{km}}}{\cancel{\text{h}}}.\frac{1000\;\text{m}}{1\;\cancel{\text{km}}}.\frac{1\;\cancel{\text{h}}}{3600\;\text{s}}=\frac{90}{3,6}\;\frac{\text{m}}{\text{s}}=25\;\text{m/s} \end{gather} \]
a) Considerando o trecho horizontal da estrada, adotamos um sistema de referência com eixo-x orientado para a direita e eixo-y orientado para cima, isolando o carro da estrada estudamos as forças que atuam nele (Figura 2).

Direção x:
  • \( {\vec{F}}_{at} \): força de atrito;
  • \( {\vec{F}}_{r} \): força de resistência do ar.
Direção y:
  • \( \vec{P} \): força peso;
  • \( \vec{N} \): reação normal da estrada sobre o carro.

Figura 2

Na direção x temos as forças dissipativas \( {\vec{F}}_{D} \) devido ao atrito e a resistência do ar, como as duas atuam no mesmo sentido, contra o movimento do carro, a sua resultante será dada pela soma das duas forças, em módulo
\[ \begin{gather} F_{D}=F_{at}+F_{r} \tag{I} \end{gather} \]
a força de atrito é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{at}=\mu N} \end{gather} \]
e a força de resistência do ar é
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{r}=cv^{2}} \end{gather} \]
substituindo estes valores na expressão (I)
\[ \begin{gather} F_{D}=\mu N+cv^{2} \tag{II} \end{gather} \]
Na direção y não há movimento a força peso e a reação normal se anulam
\[ \begin{gather} P-N=0 \tag{III} \end{gather} \]
a força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} mg-N=0\\[5pt] N=mg \tag{V} \end{gather} \]
Substituindo a expressão (V) na expressão (II)
\[ \begin{gather} F_{D}=\mu mg+cv^{2} \end{gather} \]
substituindo os valores dados no problema
\[ \begin{gather} F_{D}=0,5.1200.10+0,4.25^{2}\\[5pt] F_{D}=6000+0,4.625 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{D}=6250\;\text{N}} \end{gather} \]

b) A potência desenvolvida pelo motor é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr{P}=Fv} \tag{VI} \end{gather} \]
Como o carro está com velocidade constante a força motora no plano \( {\vec{F}}_{MP} \) é igual às forças que resistem ao movimento \( {\vec{F}}_{D} \) (Figura 3). Assim a força será \( F=F_{MP}=F_{D} \), calculada no item anterior, e a velocidade será v = v1 dada no problema
Figura 3
\[ \begin{gather} \mathscr{P}=F_{D}v_{1}\\[5pt] \mathscr{P}=6250.25\\[5pt] \mathscr{P}=156250\;\text{W} \tag{VII} \end{gather} \]
convertendo este valor dado em watts (W) usado no Sistema Internacional (S.I.) para HP
\[ \begin{gather} \mathscr{P}=156250\;\cancel{\text{W}}.\frac{1\;\text{HP}}{746\;\cancel{\text{W}}}=209\;\text{HP} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathscr{P}=209\;\text{HP}} \end{gather} \]

c) Considerando o trecho em subida, a força feita pelo motor deve ser maior, pois além de equilibrar as forças dissipativas, de atrito e de resistência do ar, deve compensar também a componente da força peso paralela à subida.
Adotamos um sistema de referência xy com o eixo-x paralelo ao plano inclinado e sentido ascendente e eixo-y para cima perpendicular ao plano (Figura 4-A).

Figura 4

A força peso pode ser decomposta em duas componentes, uma componente paralela \( {\vec{P}}_{P} \) ao eixo-x e a outra normal ou perpendicular (\( {\vec{P}}_{N} \)). Da Figura 4-B vemos que a força peso é perpendicular ao plano horizontal, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre o plano inclinado e o plano horizontal é dado como 10°, como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180°, o ângulo entre a força peso e a componente paralela deve ser 80°. No triângulo à direita temos que a componente normal faz com o plano inclinado um ângulo de 90°, então o ângulo entre a força peso e a componente normal deve medir 10°, é um ângulo complementar.
Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados (Figura 4-C).
Na direção x temos as forças dissipativas, devido ao atrito e a resistência do ar, e a componente do peso paralela ao plano, então a força que resiste ao movimento \( {\vec{F}}_{R} \) será dada pela soma destas forças
\[ \begin{gather} F_{R}=F_{at}+F_{r}+P_{P} \tag{VIII} \end{gather} \]
a componente paralela da força peso é dada por
\[ \begin{gather} P_{P}=P\operatorname{sen}10° \tag{IX} \end{gather} \]
substituindo a expressão (IV) na expressão (IX)
\[ \begin{gather} P_{P}=mg\operatorname{sen}10° \tag{X} \end{gather} \]
Substituindo a expressão (X) na expressão (VIII)
\[ \begin{gather} F_{R}=\underbrace{F_{at}+F_{r}}_{F_{D}}+mg\operatorname{sen}10° \end{gather} \]
os dois primeiros termos do lado direito da igualdade representam as forças dissipativas calculadas no item (a), substituindo este valor e os demais valores dados no problema
\[ \begin{gather} F_{R}=6250+1200.10.0,1736\\[5pt] F_{R}=6250+2083,2\\[5pt] F_{R}=8333,2\;\text{N} \end{gather} \]
Como o carro mantém a potência durante a subida usamos o valor calculado na expressão (VII), a força motora na subida \( {\vec{F}}_{MS} \) é igual à força que resiste ao movimento \( {\vec{F}}_{R} \) (Figura 5), a velocidade \( {\vec{v}}_{2} \) na subida será
\[ \begin{gather} \mathscr{P}=F_{R}v_{2}\\[5pt] 156250=8333,2v_{2}\\[5pt] v_{2}=\frac{156250}{8333,2}\\[5pt] v_{2}=18,8\;\text{m/s} \end{gather} \]
Figura 5

Convertendo este valor para quilômetros por hora (km/h)
\[ \begin{gather} v_{21}=18,8\;\frac{\cancel{\text{m}}}{\cancel{\text{s}}}.\frac{1\;\text{km}}{1000\;\cancel{\text{m}}}.\frac{3600\cancel{\text{s}}}{1\;\text{h}}=18,8.3,6\;\frac{\text{km}}{\text{h}}=67,7\;\text{km/h} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{2}=67,7\;\text{km/h}} \end{gather} \]
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