O sistema esquematizado compõe-se de um elevador de massa M e um homem de massa m.
O elevador está suspenso por uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador, a
corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante
a, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, a e
g. Determine a força que a plataforma exerce no operador.
Dados do problema:
- Massa do homem: m;
- Massa do elevador: M;
- Aceleração do conjunto: a;
- Aceleração da gravidade: g.
Solução
Adotando o sentido da aceleração
a como positivo, isolamos os corpos, encontramos as forças que atuam
em cada um deles e aplicamos a
2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m \vec{a}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Homem (Figura 1):
- \( {\vec P}_{H} \): força peso do homem;
- \( \vec{T} \): tração aplicada pelo homem na corda;
- \( \vec{N} \): força de reação do elevador sobre o homem (força a determinar).
Neste problema só há movimento na direção vertical, aplicando a expressão (I)
\[
\begin{gather}
T+N-P_{H}=ma \tag{II}
\end{gather}
\]
Figura 1
Elevador (Figura 2)
- \( {\vec P}_{E} \): força peso do elevador;
- \( \vec{T} \): tração devido ao puxão que o homem dá na corda;
- \( \vec{N} \): força da ação do homem sobre o elevador.
Aplicando a expressão (I) ao elevador
\[
\begin{gather}
T-N-P_{E}=Ma \tag{III}
\end{gather}
\]
Figura 2
As equações (II) e (III) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas,
T e
N
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
T+N-P_{H}=ma \\
T-N-P_{E}=Ma
\end{array}
\right.
\end{gather}
\]
como queremos obter o valor da força de reaçâo
N que o elevador faz no homem, vamos subtrair a
segunda equação da primeira equação
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{aligned}
\cancel{T}+N-P_{H}=ma \\
\text{(-)}\qquad \cancel{T}-N-P_{E}=Ma
\end{aligned}
}
{0+2N-P_{H}+P_{E}=ma-Ma}\\
N=\frac{P_{H}-P_{E}+ma-Ma}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\]
o peso do homem será dado por
\[
\begin{gather}
P_{H}=mg \tag{V}
\end{gather}
\]
o peso do elevador será dado por
\[
\begin{gather}
P_{E}=Mg \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (V) e (VI) na expressão (IV)
\[
\begin{gather}
N=\frac{mg-Mg+ma-Ma}{2}\\
N=\frac{g(m-M)+a(m-M)}{2}
\end{gather}
\]
colocando (
m−
M) em evidência
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{N=\frac{(m-M)(g+a)}{2}}
\]