Exercício Resolvido de Dinâmica
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Uma carreta de massa M move-se sem atrito em trilhos horizontais com velocidade v0. Na parte dianteira da carreta coloca-se um corpo de massa m com velocidade inicial zero em relação a carreta. Para que comprimento da carreta o corpo não cairá da mesma? As dimensões do corpo em relação ao comprimento da carreta podem ser desprezadas. O coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta é μ.
Dados do problema:
- Velocidade da carreta: v0;
- Massa da carreta: M;
- Velocidade inicial do corpo: v0B = 0;
- Massa do corpo: m;
- Coeficiente de atrito entre o corpo e a carreta: μ.
Adota-se um sistema de referência no solo com origem na parte traseira da carreta e orientado para a
direita (Figura 1). Sendo L o comprimento da carreta a parte dianteira está a uma distância
S = L da origem. Vamos adotar que o bloco de massa m foi colocado na parte
dianteira da carreta de forma bastante suave, de modo que não ocorram perturbações verticais no sistema
além da força peso do corpo e da reação normal da carreta sobre o bloco. Adotamos a aceleração da
gravidade é igual a g.
Solução
Pela 1.ª Lei de Newton “Todo corpo tende a permanecer em repouso ou em movimento
retilíneo uniforme, a menos que uma força altere seu estado”, então o bloco tende a permanecer no
ponto L onde foi colocado, mas como a carreta se desloca para a direita, e existe atrito entre o
bloco e a carreta, ela atua no bloco com uma força de atrito para a direita (Figura 2-A). Essa força de
atrito altera o estado de repouso do corpo e começa a arrastar o bloco para a direita com aceleração
aB.
Pela 3.ª Lei de Newton “A toda ação sempre se opõe uma reação igual ou a ação mútua de dois corpos um sobre o outro é sempre igual, e dirigida em sentidos opostos”, assim à ação da força de atrito da carreta no bloco opõe-se a reação da força de atrito do bloco na carreta, de mesma intensidade, e dirigida para a esquerda (Figura 2-B) o que vai produzir na carreta uma desaceleração aC.
Pela 3.ª Lei de Newton “A toda ação sempre se opõe uma reação igual ou a ação mútua de dois corpos um sobre o outro é sempre igual, e dirigida em sentidos opostos”, assim à ação da força de atrito da carreta no bloco opõe-se a reação da força de atrito do bloco na carreta, de mesma intensidade, e dirigida para a esquerda (Figura 2-B) o que vai produzir na carreta uma desaceleração aC.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Bloco:
- \( {\vec P}_{B} \): força peso do bloco;
- \( {\vec N}_{B} \): força normal de reação da superfície;
- \( {\vec F}_{at} \): força de atrito.
Na direção vertical não há movimento, a força peso \( {\vec P}_{B} \) e a força normal de reação \( {\vec N}_{B} \) se anulam
\[
\begin{gather}
N_{B}=P_{B} \tag{II}
\end{gather}
\]
A força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
aplicando esta expressão ao bloco B
\[
\begin{gather}
P_{B}=mg \tag{III}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
N_{B}=mg \tag{IV}
\end{gather}
\]
Na direção horizontal aplicando a expressão (I) temos a força de atrito como a resultante
\[
\begin{gather}
F_{at}=ma_{B} \tag{V}
\end{gather}
\]
a força de atrito é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{at}=\mu N}
\end{gather}
\]
para bloco a força de atrito será
\[
\begin{gather}
F_{at}=\mu N_{B} \tag{VI}
\end{gather}
\]
igualando as expressões (V) e (VI)
\[
\begin{gather}
\mu N_{B}=ma_{B} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (IV) na expessão (VII)
\[
\begin{gather}
\mu \cancel{m}g=\cancel{m}a_{B}\\[5pt]
a_{B}=\mu g \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Carreta:
- \( {\vec P}_{C} \): força peso da carreta;
- \( {\vec N}_{1} \) e \( {\vec N}_{2} \): forças normais de reação da superfície;
- \( -{\vec F}_{at} \): força de atrito, \( \left|\;{\vec{F}}_{at}\;\right|=\left|\;-{\vec{F}}_{at}\;\right| \).
Observação: Não é preciso escrever a equação da 2.ª Lei de Newton para a direção
vertical, pois, a força de atrito que aparece na carreta
\( -{\vec{F}}_{at} \)
tem o mesmo módulo da força de atrito do bloco, e esta força depende da reação normal do bloco
\( {\vec{N}}_{B} \)
e não das reações normais nas rodas da carreta,
\( {\vec{N}}_{1} \) e \( {\vec{N}}_{2} \).
Se existisse atrito entre as rodas e os trilhos então esta força de atrito dependeria das reações normais
nas rodas e da massa da carreta
\( P_{C}=Mg \).
Na direção horizontal aplicando a expressão (I) temos a força de atrito como a resultante
\[
\begin{gather}
-F_{at}=Ma_{C} \tag{IX}
\end{gather}
\]
a força de atrito dada pela expressão (VI)
\[
\begin{gather}
-\mu N_{B}=Ma_{C} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (III) na expressão (X)
\[
\begin{gather}
-\mu mg=Ma_{C}\\[5pt]
a_{C}=\frac{-{\mu mg}}{M} \tag{XI}
\end{gather}
\]
como o bloco está sob a ação de uma aceleração ele está em
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), a função da velocidade é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=v_{0}+at}
\end{gather}
\]
para o bloco será
\[
\begin{gather}
v_{B}=v_{0B}+a_{B}t\\[5pt]
v_{B}=0+\mu gt\\[5pt]
v_{B}=\mu gt \tag{XII}
\end{gather}
\]
a função da velocidade para carreta será
\[
\begin{gather}
v_{C}=v_{0C}+a_{C}t\\[5pt]
v_{C}=v_{0}-\frac{\mu mg}{M}t \tag{XIII}
\end{gather}
\]
A carreta vai diminuir de velocidade e o bloco aumentar a velocidade até que os dois se movimentem com a
mesma velocidade, então num dado instante temos a condição
\[
\begin{gather}
v_{B}=v_{C}\\[5pt]
\mu gt=v_{0}-\frac{\mu mg}{M}t\\[5pt]
\mu gt+\frac{\mu mg}{M}t=v_{0}\\[5pt]
\mu gt\left(1+\frac{m}{M}\right)=v_{0}
\end{gather}
\]
no termo entre parênteses o termo comum entre M e 1 é M
\[
\begin{gather}
\mu gt\left(\frac{M+m}{M}\right)=v_{0}\\[5pt]
t=\frac{v_{0}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right) \tag{XIV}
\end{gather}
\]
A função horária do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_{0}+v_{0}t+\frac{a}{2}t^{2}}
\end{gather}
\]
para o bloco
\[
\begin{gather}
S_{B}=S_{0B}+v_{0B}t+\frac{a_{B}}{2}t^{2}
\end{gather}
\]
pela Figura 1 vemos a posição inicial do bloco está na dianteira da carreta
\( S_{0B}=L \)
e usando a velocidade inicial do bloco dada no problema e a aceleração calculada em (VI)
\[
\begin{gather}
S_{B}=L+0.t+\frac{\mu g}{2}t^{2}\\[5pt]
S_{B}=L+\frac{\mu g}{2}t^{2} \tag{XV}
\end{gather}
\]
substituindo o valor do tempo obtido em (XIV) na expressão (XV)
\[
\begin{gather}
S_{B}=L+\frac{\mu g}{2}\left[\frac{v_{0}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\right]^{2}\\[5pt]
S_{B}=L+\frac{\mu g}{2}\frac{v_{0}^{2}}{\mu^{2}g^{2}}\left(\frac{M}{M+m}\right)^{2}\\[5pt]
S_{B}=L+\frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^{2} \tag{XVI}
\end{gather}
\]
A função horária para a carreta é dada por
\[
\begin{gather}
S_{C}=S_{0C}+v_{0C}t+\frac{a_{C}}{2}t^{2}
\end{gather}
\]
pela Figura 1 vemos a posição inicial da carreta está na origem do sistema de referência,
S0C=0, e usando a velocidade inicial da carreta dada no problema e a aceleração
calculada em (IX)
\[
\begin{gather}
S_{C}=0+v_{0}t-\frac{1}{2}\frac{\mu mg}{M}t^{2}\\[5pt]
S_{C}=v_{0}t-\frac{1}{2}\frac{\mu mg}{M}t^{2} \tag{XVII}
\end{gather}
\]
substituindo o valor do tempo obtido em (XIV) na expressão (XVII)
\[
\begin{gather}
S_{C}=v_{0}\frac{v_{0}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)-\frac{1}{2}\frac{\mu mg}{M}\left[\frac{v_{0}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\right]^{2}\\[5pt]
S_{C}=\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)-\frac{1}{2}\frac{\mu mg}{M}\frac{v_{0}^{2}}{\mu^{2}g^{2}}\left(\frac{M}{M+m}\right)^{2}\\[5pt]
S_{C}=\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)-\frac{1}{2}\frac{m}{M}\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^{2} \tag{XVIII}
\end{gather}
\]
Para que o bloco não caia da carreta devemos ter a seguinte condição
\[
\begin{gather}
S_{B}-S_{C}\geqslant 0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L+\frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^{2}-\left[\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)-\frac{1}{2}\frac{m}{M}\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^{2}\right]\geqslant 0\\[5pt]
L+\frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^{2}-\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)+\frac{m}{M}\frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)^{2}\geqslant 0
\end{gather}
\]
colocando o termo
\( \frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right) \)
em evidência do lado esquerdo da desigualdade
\[
\begin{gather}
L+\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1}{2}\left(\frac{M}{M+m}\right)-1+\frac{m}{M}\frac{1}{2}\left(\frac{M}{M+m}\right)\right]\geqslant 0\\[5pt]
L+\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1}{2}\left(\frac{M}{M+m}\right)-1+\frac{1}{2}\left(\frac{m}{M+m}\right)\right]\geqslant 0\\[5pt]
L+\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{M}{2(M+m)}+\frac{m}{2(M+m)}-1\right]\geqslant 0\\[5pt]
L+\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{\cancel{M+m}}{2\cancel{(M+m)}}-1\right]\geqslant 0\\[5pt]
L+\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1}{2}-1\right]\geqslant 0
\end{gather}
\]
na expressão entre colchetes multiplicamos e dividimos o segundo termo por2
\[
\begin{gather}
L+\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1}{2}-1.\frac{2}{2}\right]\geqslant 0\\[5pt]
L+\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[\frac{1-2}{2}\right]\geqslant 0\\[5pt]
L+\frac{v_{0}^{2}}{\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\left[-{\frac{1}{2}}\right]\geqslant 0\\[5pt]
L-\frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)\geqslant 0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{L\geqslant \frac{v_{0}^{2}}{2\mu g}\left(\frac{M}{M+m}\right)}
\end{gather}
\]
Observação: Como foi visto no problema a carreta possui velocidade inicial
v0 e o bloco é colocado sobre a carreta como velocidade nula (Figura 5-A). Sob a ação
da força de atrito a carreta desacelera e o bloco acelera até que ambos atinjam a mesma velocidade. Neste
instante o bloco possui a mesma velocidade da carreta em relação ao solo, e velocidade nula em relação a
própria carreta (o bloco para de escorregar). O bloco parece escorregar para trás da carreta, mas na
verdade a força de atrito faz o bloco avançar em relação ao solo, a carreta, no entanto, avança mais
rápido.
Pela Figura 5-B, no instante em que as velocidades dos corpos se igualam a carreta está num ponto da trajetória SC e o bloco em SB, se a diferença das posições for positiva SB−SC>0, isto significa que o bloco parou de escorregar num ponto qualquer sobre a carreta.
Figura 5
Pela Figura 5-C, se a diferença das posições for nula SB−SC=0 isto significa que o bloco parou de escorregar na extremidade traseira da carreta, onde foi tomada a referência para a carreta.
Pela Figura 5-D, se a diferença das posições for negativa SB−SC<0, isto significa que o bloco continuou a escorregar e caiu da carreta (a carreta não era longa o suficiente para que as velocidades se igualassem).
Atenção: A Figura 5-D é apenas um esquema do que acontece com o bloco, as equações usadas descrevem apenas movimentos retilíneos, e não o movimento do bloco caindo da carreta.
Pela Figura 5-B, no instante em que as velocidades dos corpos se igualam a carreta está num ponto da trajetória SC e o bloco em SB, se a diferença das posições for positiva SB−SC>0, isto significa que o bloco parou de escorregar num ponto qualquer sobre a carreta.
Pela Figura 5-C, se a diferença das posições for nula SB−SC=0 isto significa que o bloco parou de escorregar na extremidade traseira da carreta, onde foi tomada a referência para a carreta.
Pela Figura 5-D, se a diferença das posições for negativa SB−SC<0, isto significa que o bloco continuou a escorregar e caiu da carreta (a carreta não era longa o suficiente para que as velocidades se igualassem).
Atenção: A Figura 5-D é apenas um esquema do que acontece com o bloco, as equações usadas descrevem apenas movimentos retilíneos, e não o movimento do bloco caindo da carreta.
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