Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um carrinho se desloca sobre uma superfície reta e horizontal. No carrinho há um plano inclinado, que
forma um ângulo θ com a horizontal, sobre o plano coloca-se um corpo, o coeficiente de atrito
entre o corpo e o plano é μ. Determinar a aceleração do carrinho para que o corpo esteja na iminência
de subir ao longo do plano. Adote g para a aceleração da gravidade.
Dados do problema:
- Ângulo de inclinação do plano: θ;
- Coeficiente de atrito entre o corpo e o plano: μ;
- Aceleração da gravidade: g.
Adotamos um sistema de referência xy com eixo-x paralelo ao plano horizontal e com o mesmo
sentido da aceleração do carrinho.
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. Para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (Figura 1).
Supõe-se o solo (Terra) sem aceleração, referencial inercial. O carrinho possui aceleração a em relação ao solo, referencial não-inercial. Para que o corpo permaneça em repouso sobre o carrinho ele deve ter, em relação ao solo, a mesma aceleração a do carrinho (Figura 1).
Solução
Isolando o corpo obtemos as forças que atuam nele (Figura 2).
- \( \vec{P} \): força peso;
- \( \vec{N} \): força normal de reação da superfície sobre o bloco;
- \( {\vec F}_{at} \): força de atrito entre o plano e o bloco.
Como o corpo está na iminência de subir temos a força de atrito \( {\vec F}_{at} \) entre o plano e o corpo no sentido descendente do plano se opondo a este movimento.
A força de atrito \( {\vec F}_{at} \) e a força normal de reação \( \vec{N} \) podem ser decompostas em duas componentes, uma componente paralela ao eixo-x \( {\vec F}_{atx} \) e \( {\vec N}_{x} \) e a outra componente normal ou perpendicular \( {\vec F}_{aty} \) e \( {\vec N}_{y} \).
O ângulo do plano inclinado é dado igual à θ, na Figura 3-A vemos que o ângulo entre a direção x e o plano inclinado também é θ, são ângulos alternos internos.
A força normal de reação é perpendicular ao plano inclinado, forma um ângulo de 90°, o ângulo entre a direção x e a normal é \( \alpha =90°-\theta \) (Figura 3-B).
Como as direções x e y são perpendiculares entre si o ângulo entre a reação normal e a
direção y é (Figura 3-C)
\[ 90°-\alpha=90°-(90°-\theta )=90°-90°+\theta=\theta \]
O ângulo entre a força de atrito e a componente da força de atrito na direção x,
\( {\vec F}_{atx} \),
é θ, é o mesmo ângulo do plano inclinado, são ângulos alternos internos (Figura 4).
Figura 4
Desenhamos as forças em um sistema de eixos coordenados xy (Figura 5).
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{F}=m\vec{a}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Na direção y não há movimento, a força peso
\( \vec{P} \),
a componente da força normal da reação
\( {\vec N}_{y} \)
e a componente da força de atrito na direção y
\( {\vec F}_{aty} \)
se cancelam
\[
\begin{gather}
N_{y}=P+F_{aty} \tag{II}
\end{gather}
\]
a componente da reação normal na direção y é dada por
\[
\begin{gather}
N_{y}=N\cos \theta \tag{III}
\end{gather}
\]
Figura 5
a componente da força de atrito na direção y dada por
\[
\begin{gather}
F_{aty}=F_{at}\operatorname{sen}\theta \tag{IV}
\end{gather}
\]
a força de atrito é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{at}=\mu N} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na exoressão (IV)
\[
\begin{gather}
F_{aty}=\mu N\operatorname{sen}\theta \tag{VI}
\end{gather}
\]
a força peso é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (III), (VI) e (VII) na expressão (II)
\[
\begin{gather}
N\cos \theta =mg+\mu N\operatorname{sen}\theta \\[5pt]
N\cos \theta-\mu N\operatorname{sen}\theta =mg \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Na direção x temos a componente da força normal de reação e a componente da força de atrito,
aplicando a expressão (I)
\[
\begin{gather}
N_{x}+F_{atx}=ma \tag{IX}
\end{gather}
\]
a componente da reação normal na direção x é dada por
\[
\begin{gather}
N_{x}=N\operatorname{sen}\theta \tag{X}
\end{gather}
\]
a componente da força de atrito na direção x é dada por
\[
\begin{gather}
F_{atx}=F_{at}\cos \theta \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (XI)
\[
\begin{gather}
F_{atx}=\mu N\cos \theta \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (X) e (XII) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
N\operatorname{sen}\theta +\mu N\cos \theta =ma \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Dividindo a expressão (XIII) pela expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{N\operatorname{sen}\theta +\mu N\cos \theta }{N\cos \theta-\mu N\operatorname{sen}\theta }=\frac{ma}{mg}\\[5pt]
\frac{\cancel{N}(\operatorname{sen}\theta +\mu \cos \theta )}{\cancel{N}(\cos \theta -\mu\operatorname{sen}\theta )}=\frac{\cancel{m}a}{\cancel{m}g}\\[5pt]
\frac{(\operatorname{sen}\theta +\mu \cos \theta )}{(\cos \theta -\mu \operatorname{sen}\theta )}=\frac{a}{g}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=g\left(\frac{\operatorname{sen}\theta +\mu \cos \theta }{\cos \theta -\mu\operatorname{sen}\theta }\right)}
\end{gather}
\]
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