Exercício Resolvido de Centro de Massa
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Dos extremos de uma plataforma de comprimento L, apoiada sobre roletes sem atrito, um adulto e uma criança estão correndo um em direção ao outro. Determinar de quanto deslizará a plataforma, quando o adulto passar de um extremo ao outro da plataforma. Sabe-se que a velocidade do adulto é o dobro da velocidade da criança, as massas da plataforma, do adulto e da criança são m1, m2 e m3, respectivamente.

Dados do problema:

  • Comprimento da plataforma: L;
  • Massa da plataforma: m1;
  • Massa do adulto: m2;
  • Velocidade do adulto: v2;
  • Massa da criança: m3;
  • Velocidade da criança: v3.

Solução:

A posição do centro de massa de um sistema de três partículas é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {x_{cm}=\frac{m_1 x_1+m_2 x_2+m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}} \tag{I} \end{gather} \]

Na primeira situação (Figura 1), temos um sistema de referência orientado para a direita com origem no ponto da plataforma onde o homem está inicialmente. “Esquecendo” a plataforma, o homem e a criança, e considerando apenas os seus centros de massa, cp para o centro de massa da plataforma, ch para o centro de massa do homem e cc para o centro de massa da criança, o centro de massa do homem está na posição de origem do sistema x2 = 0, o centro de massa da plataforma, de comprimento L, está na metade do seu comprimento \( x_1=\frac{L}{2} \) e o centro de massa da criança está na ponta da plataforma oposta ao homem x3 = L. Assim substituindo esses valores na equação (I), temos para o centro de massa do conjunto plataforma-homem-criança na situação inicial

\[ \begin{gather} x_i=\frac{m_1\dfrac{L}{2}+m_2\times 0+m_3L}{m_1+m_2+m_3} \\[5pt] x_i=\frac{m_1\dfrac{L}{2}+m_3L}{m_1+m_2+m_3} \end{gather} \]

multiplicando e dividindo o segundo termo do numerador do lado direito da igualdade por 2

\[ \begin{gather} x_i=\frac{m_1\dfrac{L}{2}+\dfrac{2}{2}m_3L}{m_1+m_2+m_3} \\[5pt] x_i=\frac{m_1\dfrac{L}{2}+2m_3\dfrac{L}{2}}{m_1+m_2+m_3} \end{gather} \]

colocando \( \dfrac{L}{2} \) em evidência no numerador

\[ \begin{gather} x_i=\frac{L}{2}\left(\frac{m_1+2 m_3}{m_1+m_2+m_3}\right) \tag{II} \end{gather} \]
Figura 1

Na segunda parte da Figura 1 temos a situação final, o homem andou para frente o comprimento L da plataforma, como a velocidade da criança é metade da velocidade do homem ela andou até a metade do comprimento da plataforma enquanto isso a plataforma se deslocou de uma certa distância D para trás em relação ao homem. Assim o centro de massa do homem está na posição \( x_2=L-D \) e o centro de massa da plataforma e da criança coincidem estando em \( x_1=x_3=\dfrac{L}{2}-D \), novamente substituindo esses valores na equação (I) para a situação final

\[ \begin{gather} x_f=\frac{m_1\left(\dfrac{L}{2}-D\right)+m_2(L-D)+m_3\left(\dfrac{L}{2}-D\right)}{m_1+m_2+m_3} \\[5pt] x_f=\frac{m_1\dfrac{L}{2}-m_1 D+m_2 L-m_2 D+m_3\dfrac{L}{2}-m_3 D}{m_1+m_2+m_3} \end{gather} \]

multiplicando e dividindo o terceiro termo do numerador do lado direito da igualdade por 2

\[ \begin{gather} x_f=\frac{m_1\dfrac{L}{2}-m_1 D+\dfrac{2}{2}m_2 L-m_2 D+m_3\dfrac{L}{2}-m_3 D}{m_1+m_2+m_3} \\[5pt] x_f=\frac{m_1\dfrac{L}{2}-m_1 D+2 m_2\dfrac{L}{2}-m_2 D+m_3\dfrac{L}{2}-m_3 D}{m_1+m_2+m_3} \end{gather} \]

colocando −D e \( \dfrac{L}{2} \) em evidência no numerador do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} x_f=\frac{\dfrac{L}{2}(m_1+2 m_2+m_3)-D(m_1+m_2+m_3)}{m_1+m_2+m_3} \tag{III} \end{gather} \]

O Centro de Massa continua na mesma posição, igualando as equações (II) e (III)

\[ \begin{gather} x_i=x_f \\[5pt] \frac{L}{2}\left(\frac{m_1+2 m_3}{\cancel{m_1+m_2+m_3}}\right)=\frac{\dfrac{L}{2}(m_1+2 m_2+m_3)-D(m_1+m_2+m_3)}{\cancel{m_1+m_2+m_3}} \\[5pt] \frac{L}{2}(m_1+2 m_3)=\frac{L}{2}(m_1+2 m_2+m_3)-D(m_1+m_2+m_3) \\[5pt] D(m_1+m_2+m_3)=\frac{L}{2}(m_1+2m_2+m_3)-\frac{L}{2}(m_1+2m_3) \end{gather} \]

colocando \( \dfrac{L}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} D(m_1+m_2+m_3)=\frac{L}{2}(m_1+2 m_2+m_3-m_1-2 m_3) \\[5pt] D(m_1+m_3+m_2)=\frac{L}{2}(2 m_2-m_3) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {D=\frac{2 m_2-m_3}{m_1+m_3+m_2}\frac{L}{2}} \end{gather} \]
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