Exercício Resolvido de Centro de Massa
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Um arco semicircular de raio R tem o centro de massa a uma distância \( \frac{2R}{\pi} \) do centro. Determine a posição do centro de massa, de um fio homogêneo e de seção transversal constante com a forma mostrada na figura, em relação ao sistema cartesiano dado.


Dados do problema:
  • Comprimento do segmento reto do fio:    L = 8 cm;
  • Raio do segmento semicircular do fio:    R = 4 cm.
Solução

Para o segmento do fio dobrado em semicírculo o problema nos diz que o centro de massa está a uma distância de \( \frac{2R}{\pi} \) do centro, a coordenada x do semicírculo será (Figura 1)
\[ \begin{gather} x_{s}=\frac{2R}{\pi}\\[5pt] x_{s}=\frac{-{2.4}}{\pi }\\[5pt] x_{s}=\frac{-{8}}{\pi} \end{gather} \]
onde o sinal de negativo indica que o ponto está à esquerda da origem.
Figura 1

Pela simetria do semicírculo a coordenada y será igual a zero (ys = 0, como o fio é homogêneo e de seção constante, existe a mesma massa acima e abaixo do eixo x). O ponto onde está localizado o centro de massa do semicírculo é
\[ \begin{gather} (x_{s},y_{s})=\left(-\frac{8}{\pi},\;0\right) \end{gather} \]
A densidade linear de massa é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\lambda =\frac{m}{\ell}} \end{gather} \]
Observação: Da Geometria, comprimento da circunferência
\[ \begin{gather} C=2\pi R \end{gather} \]
comprimento da semicircunferência
\[ \begin{gather} \ell=\frac{C}{2}=\frac{\cancel{2}\pi R}{\cancel{2}}=\pi R \end{gather} \]

A massa do segmento semicircular será
\[ \begin{gather} m_{s}=\lambda \ell\\[5pt] m_{s}=\lambda \pi R\\[5pt] m_{s}=4\pi \lambda \end{gather} \]
Para o segmento reto do fio, que também é homogêneo e de seção constante, temos que a coordenada x está na metade do fio, como seu comprimento é de 8 cm (Figura 2)
\[ \begin{gather} x_{f}=\frac{L}{2}\\[5pt] x_{f}=\frac{8}{2}\\[5pt] x_{f}=4\;\text{cm} \end{gather} \]
Figura 2

Como o segmento semicircular tem raio de 4 cm ele se une ao segmento reto no ponto onde a coordenada y tem esse valor
\[ \begin{gather} y_{f}=4\;\text{cm} \end{gather} \]
Desse modo a coordenada do centro de massa do segmento reto é
\[ \begin{gather} (x_{f},y_{f})=(4,\;4) \end{gather} \]
Como o material de que é feito o segmento reto é o mesmo do semicírculo sua densidade linear é calculada usando a mesma expressão, a massa do segmento reto será
\[ \begin{gather} m_{f}=\lambda L\\[5pt] m_{f}=8\lambda \end{gather} \]
O sistema se comporta como se toda a massa do segmento semicircular do fio estivesse concentrada no ponto \( (x_{s},y_{s})=\left(-{\frac{8}{\pi }},\;0\right) \) e toda a massa do segmento reto estivesse no ponto \( (x_{f},y_{f})=(4,\;4) \), as coordenadas do centro de massa do fio inteiro está em um ponto \( (x_{cm},y_{cm}) \) localizado na reta que liga os dois pontos anteriores (Figura 3).
Figura 3

A coordenada do centro de massa será dada pelas expressões
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {x_{cm}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {y_{cm}=\frac{m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}}{m_{1}+m_{2}}} \end{gather} \]
Substituindo os dados obtidos acima para xcm
\[ \begin{gather} x_{cm}=\frac{m_{s}x_{s}+m_{f}x_{f}}{m_{s}+m_{f}}\\[5pt] x_{cm}=\frac{4\cancel{\pi}\lambda .\left(-{\frac{8}{\cancel{\pi}}}\right)+8\lambda .4}{4\pi \lambda+8\lambda }\\[5pt] x_{cm}=\frac{\cancel{4\lambda}}{\cancel{4\lambda}}\frac{(-8+8)}{(\pi +2)}\\[5pt] x_{cm}=\frac{0}{\pi+2}\\[5pt] x_{cm}=0 \end{gather} \]
Para ycm
\[ \begin{gather} y_{cm}=\frac{m_{s}y_{s}+m_{f}y_{f}}{m_{s}+m_{f}}\\[5pt] y_{cm}=\frac{4\pi\lambda .0+8\lambda .4}{4\pi \lambda +8\lambda}\\[5pt] y_{cm}=\frac{0+32\lambda }{4\pi \lambda +8\lambda}\\[5pt] y_{cm}=\frac{32\lambda }{4\pi \lambda +8\lambda}\\[5pt] y_{cm}=\frac{\cancelto{8}{32\lambda} }{\cancel{4\lambda} (\pi+2)}\\[5pt] y_{cm}=\frac{8}{\pi +2} \end{gather} \]
adotando π = 3,14
\[ \begin{gather} y_{cm}=\frac{8}{3,14+2}\\[5pt] y_{cm}=\frac{8}{5,14}\\[5pt] y_{cm}=1,56\;\text{cm} \end{gather} \]
A coordenada do centro de massa será
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {(x_{cm},y_{cm})=(0;\;1,56)} \end{gather} \]
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