Um arco semicircular de raio R tem o centro de massa a uma distância
\( \frac{2R}{\pi} \)
do centro. Determine a posição do centro de massa, de um fio homogêneo e de seção transversal constante
com a forma mostrada na figura, em relação ao sistema cartesiano dado.
Dados do problema:
- Comprimento do segmento reto do fio: L = 8 cm;
- Raio do segmento semicircular do fio: R = 4 cm.
Solução:
Para o segmento do fio dobrado em semicírculo o problema nos diz que o centro de massa está a uma
distância de
\( \frac{2R}{\pi} \)
do centro, a coordenada
x do semicírculo será (Figura 1)
\[
\begin{gather}
x_s=\frac{2R}{\pi} \\[5pt]
x_s=\frac{-{2\times 4}}{\pi} \\[5pt]
x_s=\frac{-{8}}{\pi}
\end{gather}
\]
onde o sinal de negativo indica que o ponto está à esquerda da origem.
Pela simetria do semicírculo a coordenada y será igual a zero (ys = 0, como o fio
é homogêneo e de seção constante, existe a mesma massa acima e abaixo do eixo x). O ponto onde está
localizado o centro de massa do semicírculo é
\[
\begin{gather}
(x_s,y_s)=\left(-\frac{8}{\pi},\;0\right)
\end{gather}
\]
A densidade linear de massa é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda =\frac{m}{\ell}}
\end{gather}
\]
Observação: Da
Geometria, comprimento da circunferência
\[
\begin{gather}
C=2\pi R
\end{gather}
\]
comprimento da semicircunferência
\[
\begin{gather}
\ell=\frac{C}{2}=\frac{\cancel{2}\pi R}{\cancel{2}}=\pi R
\end{gather}
\]
A massa do segmento semicircular será
\[
\begin{gather}
m_s=\lambda\ell \\[5pt]
m_s=\lambda\pi R \\[5pt]
m_s=4\pi \lambda
\end{gather}
\]
Para o segmento reto do fio, que também é homogêneo e de seção constante, temos que a coordenada
x está na metade do fio, como seu comprimento é de 8 cm (Figura 2)
\[
\begin{gather}
x_f=\frac{L}{2} \\[5pt]
x_f=\frac{8}{2} \\[5pt]
x_f=4\;\mathrm{cm}
\end{gather}
\]
Como o segmento semicircular tem raio de 4 cm ele se une ao segmento reto no ponto onde a coordenada
y tem esse valor
\[
\begin{gather}
y_f=4\;\mathrm{cm}
\end{gather}
\]
Desse modo a coordenada do centro de massa do segmento reto é
\[
\begin{gather}
(x_f,y_f)=(4,\;4)
\end{gather}
\]
Como o material de que é feito o segmento reto é o mesmo do semicírculo sua densidade linear é calculada
usando a mesma expressão, a massa do segmento reto será
\[
\begin{gather}
m_f=\lambda L \\[5pt]
m_f=8\lambda
\end{gather}
\]
O sistema se comporta como se toda a massa do segmento semicircular do fio estivesse concentrada no ponto
\( (x_s,y_s)=\left(-{\frac{8}{\pi}},\;0\right) \)
e toda a massa do segmento reto estivesse no ponto
\( (x_f,y_f)=(4,\;4) \),
as coordenadas do centro de massa do fio inteiro está em um ponto
\( (x_{cm},y_{cm}) \)
localizado na reta que liga os dois pontos anteriores (Figura 3).
A coordenada do centro de massa será dada pelas expressões
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x_{cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{y_{cm}=\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}}
\end{gather}
\]
Substituindo os dados obtidos acima para xcm
\[
\begin{gather}
x_{cm}=\frac{m_sx_s+m_fx_f}{m_s+m_f} \\[5pt]
x_{cm}=\frac{4\cancel{\pi}\lambda\times\left(-{\frac{8}{\cancel{\pi}}}\right)+8\lambda\times 4}{4\pi\lambda+8\lambda} \\[5pt]
x_{cm}=\frac{\cancel{4\lambda}}{\cancel{4\lambda}}\frac{(-8+8)}{(\pi +2)} \\[5pt]
x_{cm}=\frac{0}{\pi+2} \\[5pt]
x_{cm}=0
\end{gather}
\]
Para ycm
\[
\begin{gather}
y_{cm}=\frac{m_sy_s+m_fy_f}{m_s+m_f} \\[5pt]
y_{cm}=\frac{4\pi\lambda\times 0+8\lambda\times 4}{4\pi\lambda +8\lambda} \\[5pt]
y_{cm}=\frac{0+32\lambda}{4\pi\lambda+8\lambda} \\[5pt]
y_{cm}=\frac{32\lambda}{4\pi\lambda+8\lambda} \\[5pt]
y_{cm}=\frac{\cancelto{8}{32\lambda}}{\cancel{4\lambda}(\pi+2)} \\[5pt]
y_{cm}=\frac{8}{\pi+2}
\end{gather}
\]
adotando π = 3,14
\[
\begin{gather}
y_{cm}=\frac{8}{3,14+2} \\[5pt]
y_{cm}=\frac{8}{5,14} \\[5pt]
y_{cm}=1,56\;\mathrm{cm}
\end{gather}
\]
A coordenada do centro de massa será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{(x_{cm},y_{cm})=(0;\;1,56)}
\end{gather}
\]
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