Exercício Resolvido de Centro de Massa
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Um homem de massa m está sentado na popa de um barco em repouso em um lago. A massa do barco é M = 3m e seu comprimento é L. O homem levanta-se e anda em direção à proa. Desprezando a resistência da água, determine a distância D que o bote percorre durante o percurso do homem da popa a proa.

Dados do problema:

  • Massa do homem: m;
  • Massa do barco: M = 3m;
  • Comprimento do barco: L.

Solução:

A posição do centro de massa de um sistema de dois corpos é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {x_{cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}} \tag{I} \end{gather} \]

Na primeira situação (Figura 1), temos um sistema de referência orientado para a direita com origem na parte de trás do barco onde o homem está sentado. “Esquecendo” o barco e o homem, e considerando apenas os seus centros de massa, h para o centro de massa do homem, e b para o centro de massa do barco. O centro de massa do homem está na posição de origem do sistema, xh=0, e o centro de massa do barco, de comprimento L, está na metade do seu comprimento,   \( x_b=\frac{L}{2} \).   Assim substituindo esses valores e as massas dadas no problema na expressão (I), temos o centro de massa do conjunto homem-barco na situação inicial

\[ \begin{gather} x_i=\frac{mx_h+Mx_b}{m+M} \\[5pt] x_i=\frac{m\times 0+3m\dfrac{L}{2}}{m+3m} \\[5pt] x_i=\frac{3\cancel m\dfrac{L}{2}}{4\cancel m} \\[5pt] x_i=\frac{3L}{8} \tag{II} \end{gather} \]
Figura 1

Na segunda situação (Figura 1), o homem andou para frente o comprimento L do barco, enquanto isso o barco andou uma certa distância D para trás. Assim o centro de massa do homem está agora na posição   \( x_h=L-D \)   e o centro de massa do barco está em   \( x_b=\dfrac{L}{2}-D \),   novamente substituindo esses valores na expressão (I) temos a posição do centro de massa para a situação final

\[ \begin{gather} x_f=\frac{mx_h+Mx_b}{m+M} \\[5pt] x_f=\frac{m(L-D)+3m\left(\dfrac{L}{2}-D\right)}{m+3m} \\[5pt] x_f=\frac{mL-mD+3m\dfrac{L}{2}-3mD}{4m} \\[5pt] x_f=\frac{\dfrac{2mL-2mD+3mL-6mD}{2}}{4m} \\[5pt] x_f=\frac{5\cancel m L-8\cancel m D}{8\cancel m} \\[5pt] x_f=\frac{5L-8D}{8} \tag{III} \end{gather} \]

O problema nos diz que o barco está em repouso na situação inicial, como o centro de massa do conjunto homem-barco não se desloca podemos igualar as expressões (II) e (III)

\[ \begin{gather} x_i=x_f \\[5pt] \frac{3L}{\cancel 8}=\frac{5L-8D}{\cancel 8} \\[5pt] 3L=5L-8D \\[5pt] 8D=5L-3L \\[5pt] 8D=2L \\[5pt] D=\frac{2L}{8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {D=\frac{L}{4}} \end{gather} \]
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