Duas partículas A e B têm massas respectivamente iguais a 4 kg e 6 kg. Ambas movem-se com
velocidades constantes vA = 5 m/s e vB = 3 m/s tais que suas
direções formam um ângulo de 60°. Determine:
a) A velocidade do centro de massa;
b) A quantidade de movimento do sistema.
Dados do problema:
- Massa da partícula A: mA = 4 kg;
- Massa da partícula B: mB = 6 kg;
- Velocidade da partícula A: vA = 5 m/s;
- Velocidade da partícula B: vB = 3 m/s.
Solução
a) A velocidade do centro de massa será dada pela seguinte equação na forma vetorial
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec{v}=\frac{m_{A}{\vec{v}}_{A}+m_{B}{\vec{v}}_{B}}{m_{A}+m_{B}}}
\end{gather}
\]
na forma escalar está equação pode ser decomposta nas direções
x e
y
\[
\begin{gather}
v_{x}=\frac{m_{A}v_{Ax}+m_{B}v_{Bx}}{m_{A}+m_{B}} \tag{I-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{y}=\frac{m_{A}v_{Ay}+m_{B}v_{By}}{m_{A}+m_{B}} \tag{I-b}
\end{gather}
\]
Desenhamos os vetores velocidades
\( {\vec{v}}_{A} \)
e
\( {\vec{v}}_{B} \)
em um sistema de eixos cartesianos, e obtemos suas componentes, o vetor velocidade
\( {\vec{v}}_{B} \)
coincide com o eixo-
x, então o ângulo entre eles será 0° (Figura 1)
\[
\begin{gather}
v_{Ax}=v_{A}\cos 60°
\end{gather}
\]
da Trigonometria
\( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)
\[
\begin{gather}
v_{Ax}=5.\frac{1}{2}\\[5pt]
v_{Ax}=2,5\;\text{m/s} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{Bx}=v_{B}\cos 0°
\end{gather}
\]
da Trigonometria
\( \cos 0°=1 \)
\[
\begin{gather}
v_{Bx}=3.1\\[5pt]
v_{Bx}=3\;\text{m/s} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{Ay}=v_{A}\operatorname{sen}60°
\end{gather}
\]
da Trigonometria
\( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)
\[
\begin{gather}
v_{Ay}=5.\frac{\sqrt{3\;}}{2}\\[5pt]
v_{Ay}=4,3\;\text{m/s} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{By}=v_{B}\operatorname{sen}0°
\end{gather}
\]
da Trigonometria
\( \operatorname{sen}0°=0 \)
\[
\begin{gather}
v_{By}=3.0\\[5pt]
v_{By}=0 \tag{V}
\end{gather}
\]
Substituindo os valores das massas e as velocidades (II) e (III) na direção
x na expressão (I-a)
\[
\begin{gather}
v_{x}=\frac{4.2,5+6.3}{4+6}\\[5pt]
v_{x}=\frac{10+18}{10}\\[5pt]
v_{x}=2,8\;\text{m/s} \tag{VI}
\end{gather}
\]
Substituindo os valores das massas e as velocidades (IV) e (V) na direção
y na expressão (I-b)
\[
\begin{gather}
v_{y}=\frac{4.4,3+6.0}{4+6}\\[5pt]
v_{y}=\frac{17,2+0}{10}\\[5pt]
v_{y}=1,7\;\text{m/s} \tag{VII}
\end{gather}
\]
Os vetores
\( {\vec{v}}_{x} \)
e
\( {\vec{v}}_{y} \)
estão representados na Figura 2-A e sua soma vetorial nos dará o vetor velocidade do centro de massa do
sistema. O módulo deste vetor pode ser encontrado aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo
retângulo da Figura 2-B, onde os catetos representam as velocidades nas direções x e y, e
a hipotenusa a velocidade do centro de massa.
\[
\begin{gather}
v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}
\end{gather}
\]
substituindo os resultados (VI) e (VII) para as velocidades
\[
\begin{gather}
v^{2}=(2,8)^{2}+(1,7)^{2}\\[5pt]
v^{2}=7,84+2,89\\[5pt]
v^{2}=10,73\\[5pt]
v=\sqrt{10,73\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v=3,3\;\text{m/s}}
\end{gather}
\]
b) A quantidade de movimento do sistema será
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=mv}
\end{gather}
\]
onde
m é a massa total do sistema.
\[
\begin{gather}
Q=(m_{A}+m_{B})v\\[5pt]
Q=(4+6).3,3
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{Q=33\;\text{kg.m/s}}
\end{gather}
\]