Exercício Resolvido de Choques

Uma bala de massa 15 g choca-se com um bloco de madeira de massa 2,985 kg, suspenso horizontalmente por dois fios, a bala se aloja no bloco e o conjunto sobe 5 cm em relação à posição inicial, considere que os fios permaneçam paralelos. Determinar:
a) A velocidade da bala ao atingir o bloco;
b) A velocidade adquirida pelo sistema bala-bloco;
c) A energia perdida no choque.

Dados do problema:

Massa da bala: m = 15 g;
Massa do bloco: M = 2,985 kg;
Altura que o sistema sobe após o choque: h = 5 cm;
Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s².

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter a massa da bala, dada em gramas (g), para quilogramas (kg) e a altura a que se eleva o sistema, dada em centímetros (cm), para metros (m) utilizados no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

\[ \begin{gather} m=15\;\mathrm{\cancel g}\times\frac{1\times 10^{-3}\;\mathrm{kg}}{1\;\mathrm{\cancel g}}=1,5\times 10\times 10^{-3}\;\mathrm{kg}=1,5\times 10^{-2}\;\mathrm{kg} \\[10pt] h=5\;\mathrm{\cancel{cm}}\times\frac{1\times 10^{-2}\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{cm}}}=5\times 10{-2}\;\mathrm{cm} \end{gather} \]

a) Aplicando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento e o Princípio da Conservação da Energia Mecânica ao sistema antes e depois do choque da bala contra o bloco (Figura 1).

Conservação da Quantidade de Movimento:

Antes do choque a bala de massa m, possui velocidade v_b e o bloco, de massa M está em repouso, v_B = 0. Imediatamente após o choque o sistema bala-bloco, de massa m+M, possui velocidade V. Então a quantidade de movimento antes do choque \( \left( Q_i \right) \) deve ser igual à quantidade de movimento depois do choque \( \left( Q_f \right) \).

Figura 1

\[ \begin{gather} Q_i=Q_f \\[5pt] mv_b+Mv_B=(m+M)V \\[5pt] mv_b+M\times 0=(m+M)V \\[5pt] mv_b=(m+M)V \\[5pt] v_b=\frac{m+M}{m}V \tag{I} \end{gather} \]

Conservação da Energia Mecânica:

Adotamos um Nível de Referência (N.R.) no meio do bloco em repouso. No momento do choque o sistema bala-bloco possui energia cinética \( \left( E_{c i} \right) \) e a energia potencial \( \left( E_{p i} \right) \) é nula, a altura em relação à referência é zero (Figura 1). Quando o sistema atinge a altura máxima o sistema possui energia potencial \( \left( E_{p f} \right) \) e a energia cinética \( \left( E_{c f} \right) \) é nula, a velocidade do sistema é igual à zero (o sistema para por um instante antes de voltar).

Figura 2

igualando a energia mecânica \( \left( E_{m} \right) \) do sistema no momento do choque e no momento que atinge a altura máxima

\[ \begin{gather} E_{m i}=E_{m f} \\[5pt] E_{c i}+E_{p i}=E_{c f}+E_{p f} \\[5pt] \frac{(m+M)V^2}{2}+(m+M)g\times 0=\frac{(m+M)\times 0^2}{2}+(m+M)gh \\[5pt] \frac{\cancel{(m+M)}V^2}{2}=\cancel{(m+M)}gh \\[5pt] \frac{V^2}{2}=gh \\[5pt] V^2=2gh \\[5pt] V=\sqrt{2gh\;} \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I)

\[ \begin{gather} v_b=\frac{m+M}{m}\sqrt{2gh\;} \\[5pt] v_b=\frac{0,015+2,985}{0,015}\times\sqrt{2\times 9,8\times 0,05\;} \\[5pt] v_b=\frac{3}{0,015}\times\sqrt{0,98\;} \\[5pt] v_b=\frac{3}{0,015}\times 0,99 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_b=198\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) Da equação (II) temos de imediato que

\[ \begin{gather} V=\sqrt{2\times 9,8\times 0,05\;} \\[5pt] V=\sqrt{0,98\;} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V=0,99\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

c) Aplicando novamente o Princípio da Conservação da Energia Mecânica, antes do choque a bala possui energia cinética \( \left( {_iE_{cb}} \right) \) e sua energia potencial \( \left( {_iE_{pb}} \right) \) é nula, sua altura em relação ao Nível de Referência é zero. As energias cinética e potencial do bloco \( \left( {_iE_{cB}} \;\text{e}\; {_iE_{pB}} \right) \) são nulas, sua velocidade é igual à zero e sua altura em relação ao Nível de Referência é igual à zero.
Durante o choque parte da energia inicial é dissipada \( \left( E_{\small D} \right) \), esta energia dissipada deverá ser somada a energia mecânica final do sistema, e o que sobra faz o sistema bala-bloco oscilar, então no momento que o sistema atinge a altura máxima sua energia cinética \( \left( {_fE_{c}} \right) \) será nula, a velocidade do sistema é zero e toda a energia restante estará na forma de energia potencial \( \left( {_fE_{p}} \right) \).

Figura 3

Pela Figura 3

\[ \begin{gather} E_{m i}=E_{m f}+E_{\small D} \\[5pt] {_iE_{cb}}+{_iE_{pb}}+{_iE_{c\small B}}+{_iE_{p\small B}}={_fE_{c}}+{_fE_{p}}+E_{\small D} \\[5pt] \frac{mv_b^2}{2}+mgh+\frac{MV_{\small B}^2}{2}+Mgh=\frac{(m+M)V^2}{2}+(m+M)gh+E_{\small D} \\[5pt] \frac{mv_b^2}{2}+mg\times 0+\frac{M\times 0^2}{2}+Mg\times 0=\frac{(m+M)\times 0^2}{2}+(m+M)gh+E_{\small D} \\[5pt] \frac{mv_b^2}{2}=(m+M)gh+E_{\small D} \\[5pt] E_{\small D}=\frac{mv_b^2}{2}-(m+M)gh \\[5pt] E_{\small D}=\frac{0,015\times 198^2}{2}-(0,015+2,985)\times 9,8\times 0,05 \\[5pt] E_{D}=294,03-1,47 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{D}=295,5\;\mathrm J} \end{gather} \]