Calcular a perda de energia que ocorre no choque central inelástico entre duas esferas de massas
m1 e m2 que se movem no mesmo sentido com velocidades
v1 e v2.
Dados do problema:
- Massa da esfera 1: m1;
- Massa da esfera 2: m2;
- Velocidade da esfera 1: v1;
- Velocidade da esfera 2: v2.
Esquema do problema:
Solução:
Para ocorrer o choque devemos supor v1 > v2, como o choque é
inelástico as duas esferas permanecem juntas após o choque, a quantidade de movimento se conserva e a
energia cinética do sistema depois do choque é menor que a energia cinética antes do choque.
A quantidade de movimento é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=mv}
\end{gather}
\]
A energia cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_c=\frac{mv^2}{2}}
\end{gather}
\]
Escrevendo as equações para as esferas 1 e 2 nas situações antes e depois do choque
Antes do choque:
\[
\begin{gather}
Q_1=m_1v_1 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_2=m_2v_2 \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{c1}^i=\frac{m_1v_1^2}{2} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{c2}^i=\frac{m_2v_2^2}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Depois do choque:
\[
\begin{gather}
Q=m_1v_1+m_2v_2 \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_c^f=\frac{m_1v^2}{2}+\frac{m_2v^2}{2} \tag{VI}
\end{gather}
\]
onde
\( E_{c1}^i \)
e
\( E_{c2}^i \)
são as energias cinéticas iniciais das esferas 1 e 2,
\( E_c^f \)
é a energia cinética final do conjunto, Q e v são a quantidade de movimento e a velocidade do
conjunto após o choque.
A energia dissipada ΔE será a diferença entre a energia final e a energia inicial das esferas
\[
\begin{gather}
\Delta E=E_c^f-\left(E_{c1}^i+E_{c2}^i\right)
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VI), (III) e (IV) nesta equação
\[
\begin{gather}
\Delta E=\frac{m_1v^2}{2}+\frac{m_2v^2}{2}-\left(\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}\right) \\[5pt]
\Delta E=\frac{v^2}{2}\left(m_1+m_2\right)-\left(\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}\right) \tag{VII}
\end{gather}
\]
Para obter v usamos o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento utilizando
as expressões (I) e (II) antes do choque e a expressão (VI) depois do choque
\[
\begin{gather}
Q^i=Q^f \\[5pt]
m_1v_1+m_2v_2=m_1v+m_2v \\[5pt]
m_1v_1+m_2v_2=v(m_1+m_2) \\[5pt]
v=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VIII) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
\Delta E=\frac{1}{2}\left(\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\right)^2\left(m_1+m_2\right)-\frac{m_1v_1^2}{2}-\frac{m_2v_2^2}{2} \\[5pt]
\Delta E=\frac{1}{2}\frac{\left(m_1v_1+m_2v_2\right)^2}{\left(m_1+m_2\right)^{\cancel 2}}\cancel{\left(m_1+m_2\right)}-\frac{m_1v_1^2}{2}-\frac{m_2v_2^2}{2} \\[5pt]
\Delta E=\frac{\left(m_1v_1+m_2v_2\right)^2}{2\left(m_1+m_2\right)}-\frac{m_1v_1^2}{2}-\frac{m_2v_2^2}{2}
\end{gather}
\]
No primeiro termo do lado direito da igualdade o denominador é um
Produto Notável do tipo
\( \left(a+b\right)^2=a^2+2 ab+b^2 \)
\[ \left(a+b\right)^2=a^2+2 ab+b^2 \]
colocando os três termos da direita sobre o denominador 2(m1+m2), e
expandindo o Produto Notável
\[
\begin{gather}
\Delta E=\frac{m_1^2v_1^2+2m_1v_1m_2v_2+m_2^2v_2^2-m_1v_1^2\left(m_1+m_2\right)-m_2v_2^2\left(m_1+m_2\right)}{2\left(m_1+m_2\right)} \\[5pt]
\Delta E=\frac{m_1^2v_1^2+2m_1v_1m_2v_2+m_2^2v_2^2-m_1^2v_1^2-m_1m_2v_1^2-m_1m_2v_2^2-m_2^2v_2^2}{2\left(m_1+m_2\right)} \\[5pt]
\Delta E=\frac{2m_1v_1m_2v_2-m_1m_2v_1^2-m_1m_2v_2^2}{2\left(m_1+m_2\right)} \\[5pt]
\Delta E=\frac{-m_1m_2\left(v_1^2-2v_1v_2+v_2^2\right)}{2\left(m_1+m_2\right)}
\end{gather}
\]
O termo entre parênteses no numerador é um
Produto Notável do tipo
\( \left(a-b\right)^2=a^2-2 ab+b^2 \)
\[ \left(a-b\right)^2=a^2-2 ab+b^2 \]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta E=\frac{-m_1m_2\left(v_1-v_2\right)^2}{2\left(m_1+m_2\right)}}
\end{gather}
\]
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