Exercício Resolvido de Movimento Bidimensional
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Três esferas idênticas são lançadas de uma mesma altura h com velocidades de mesmo módulo. A esfera A é lançada verticalmente para baixo, B é lançada verticalmente para cima e C é lançada horizontalmente. Qual delas chega ao solo como maior velocidade em módulo, despreze a resistência do ar.


Dados do problema:
  • Velocidade de lançamento:    v0;
  • Altura do ponto de lançamento:    h.
Solução
  • Esfera A:
Adota-se um sistema de referência orientado para cima com origem no solo, a aceleração da gravidade e a velocidade da esfera A são negativas, estão orientadas contra o sentido do referencial (Figura 1). O movimento da esfera é um lançamento vertical para baixo sob a ação da aceleração da gravidade, pela Equação de Torricelli sua velocidade final no solo será
\[ \begin {gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S} \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v^{2}=(-v_{0})^{2}+2(-g)\Delta S\\ v^{2}=v_{0}^{2}-2g(0-h)\\ v^{2}=v_{0}^{2}-2g(-h)\\ v^{2}=v_{0}^{2}+2gh\\ v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh} \tag{II} \end{gather} \]

Figura 1
  • Esfera B:
O movimento da esfera se divide em duas partes. A primeira parte é um lançamento vertical para cima, a esfera sobe até uma altura H, sua velocidade se anula. A segunda parte do movimento que é uma queda livre a partir do repouso.
Na primeira parte a velocidade inicial de lançamento é positiva, está orientada no mesmo sentido do referencial, e a velocidade final é nula, vH = 0, é o instante em que a esfera para e inverte o movimento para começar a cair (Figura 2-A).

Figura 2

Escrevendo a expressão (I) para a primeira parte encontramos a altura atingida pela esfera
\[ \begin{gather} v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S\\ v_{H}^{2}=v_{0}^{2}+2(-g)\Delta S\\ 0^{2}=v_{0}^{2}-2g(H-h)\\ 0=v_{0}^{2}-2gH+2gh\\ 2gH=v_{0}^{2}+2gh\\ H=\frac{v_{0}^{2}+2gh}{2g} \tag{III} \end{gather} \]
Na segunda parte, queda livre, a velocidade inicial será a velocidade final da primeira parte, ela será nula, v0H = vH = 0, e a altura inicial será dada pela expressão (III). Aplicando a expressão (I) temos a velocidade com que a esfera chega ao solo
\[ \begin{gather} v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S\\ v^{2}=v_{\text{0H}}^{2}+2(-g)\Delta S\\ v^{2}=0^{2}-2g(0-H)\\ v^{2}=0-2g(-H)\\ v^{2}=0+2gH\\ v^{2}=\cancel{2g}\left(\frac{v_{0}^{2}+2gh}{\cancel{2g}}\right)\\ v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh} \tag{IV} \end{gather} \]
  • Esfera C:
O movimento deve ser decomposto nas direções x e y (Figura 3-A).

Figura 3

Na direção x não há aceleração atuando sobre a esfera, ela está em Movimento Uniforme (M.U.), para um mesmo intervalo de tempo os deslocamentos ao longo do eixo-x são iguais (Δ x1=Δ x2=Δ x3=Δ x4=Δ x5 - Figura 3-B). A componente da velocidade nessa direção será a própria velocidade de lançamento da esfera v0
\[ \begin{gather} v_{\text{x}}=v_{0} \tag{V} \end{gather} \]
Na direção y temos a aceleração da gravidade atuando sobre a esfera, portanto ela está em Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.), para um mesmo intervalo de tempo os deslocamentos são cada vez maiores (Δ y1<Δ y2<Δ y3<Δ y4<Δ y5). Inicialmente a velocidade é nula v0y = 0, a velocidade nessa direção é dada pela expressão (I), com a = −g
\[ \begin{gather} v_{y}^{2}=v_{\text{0y}}^{2}+2(-g)\Delta S_{y}\\ v_{y}^{2}=0^{2}-2g(0-h)\\ v_{y}^{2}=0-2g(-h)\\ v_{y}^{2}=2gh \tag{VI} \end{gather} \]
A velocidade com que a esfera atinge o solo é dada pela soma das componentes nas direções x e y, dadas pelas expressões (V) e (VI) respectivamente, usando o Teorema de Pitágoras (Figura 4)
\[ \begin{gather} v^{2}=v_{\text{x}}^{2}+v_{y}^{2}\\ v^{2}=v_{0}^{2}+2gh\\ v=\sqrt{v_{0}^{2}+2gh} \tag{VII} \end{gather} \]
Figura 4

Comparando as expressões (II), (IV) e (VII) vemos que todas as esferas chegam ao solo com a mesma velocidade .
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