Exercício Resolvido de Relatividade

Uma nave espacial (E) viaja no espaço com velocidade igual a 90% da velocidade da luz em relação a Terra, uma outra nave (K) viaja em sua direção com velocidade de 80% da velocidade da luz também em relação a Terra. Determine qual a velocidade da nave K em relação à nave E?

Dados do problema:

Velocidade da nave E: v_E = 0,90 c;
Velocidade da nave K: v_K = 0,80 c.

Esquema do problema:

Adotamos um referencial R fixo na Terra, vamos adotar v como sendo a velocidade da nave K em relação a Terra, v_K = v = −0,80 c. Adotamos um outro referencial R’ fixo na nave E, a velocidade da nave E será a mesma velocidade do referencial R’ em relação ao referencial R fixo na Terra, essa velocidade será indicada por v_E = μ = 0,90 c (Figura 1).

Figura 1

O que desejamos saber é a velocidade da nave K em relação ao referencial R’, chamada de v’.

Solução:

Como as velocidades das naves são próximas a velocidade da luz pela Relatividade de Einstein a velocidade de K em relação a E será

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v'=\gamma(v-\mu)} \end{gather} \]

onde \( \bbox[#99CCFF,10px] {\gamma=\dfrac{1}{1-\dfrac{\mu v}{c^2}}} \)

substituindo os dados do problema

\[ \begin{gather} v'=\frac{1}{1-\dfrac{\mu v}{c^2}}(v-\mu) \\[5pt] v'=\frac{1}{1-\dfrac{0,90 c\times (0,80 c)}{c^2}}(-0,80 c-0,90 c) \\[5pt] v'=\frac{1}{1-\dfrac{(-0,72 \cancel{c^2})}{\cancel{c^2}}}(-1,70 c) \\[5pt] v'=\frac{1}{1+0,72}(-1,70 c)\\[5pt] v'=\frac{-1,70 c}{1,72} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v'=-0,98c} \end{gather} \]

Observação 1: O sinal negativo na resposta indica que o sentido da velocidade da nave K é contrária a orientação do referencial R‘ (Figura 1).

Observação 2: Ao contrário do que ocorre na Relatividade de Galileu onde a velocidade relativa é a soma das velocidades

\[ \begin{gather} v'=v-\mu \\[5pt] v'=-0,80c-0,90c \\[5pt] v'=1,70c \end{gather} \]

na Relatividade de Einstein isto não ocorre porque não podemos ter velocidades maiores que a velocidade da luz.