Exercício Resolvido de Relatividade
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Uma nave espacial (E) viaja no espaço com velocidade igual a 90% da velocidade da luz em relação a Terra, uma outra nave (K) viaja em sua direção com velocidade de 80% da velocidade da luz também em relação a Terra. Determine qual a velocidade da nave K em relação à nave E?



Dados do problema:
  • Velocidade da nave E:    vE = 0,90 c;
  • Velocidade da nave K:    vK = 0,80 c.
Esquema do problema:

Adotamos um referencial R fixo na Terra, vamos adotar v como sendo a velocidade da nave K em relação a Terra, vK = v = −0,80 c. Adotamos um outro referencial R’ fixo na nave E, a velocidade da nave E será a mesma velocidade do referencial R’ em relação ao referencial R fixo na Terra, essa velocidade será indicada por vE = μ = 0,90 c (Figura 1).

Figura 1

O que desejamos saber é a velocidade da nave K em relação ao referencial R’, chamada de v’.

Solução

Como as velocidades das naves são próximas a velocidade da luz pela Relatividade de Einstein a velocidade de K em relação a E será
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v'=\gamma (v-\mu )} \end{gather} \]
onde \( \bbox[#99CCFF,10px] {\gamma =\dfrac{1}{1-\dfrac{\mu v}{c^{2}}}} \)

substituindo os dados do problema
\[ \begin{gather} v'=\frac{1}{1-\dfrac{\mu v}{c^{2}}}(v-\mu)\\[5pt] v'=\frac{1}{1-\dfrac{0,90 c .(0,80 c)}{c^{2}}}(-0,80 c-0,90 c)\\[5pt] v'=\frac{1}{1-\dfrac{(-0,72 \cancel{c^{2}})}{\cancel{c^{2}}}}(-1,70 c)\\[5pt] v'=\frac{1}{1+0,72}(-1,70 c)\\[5pt] v'=\frac{-1,70 c}{1,72} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v'=-0,98c} \end{gather} \]

Observação 1: O sinal negativo na resposta indica que o sentido da velocidade da nave K é contrária a orientação do referencial R‘ (Figura 1).

Observação 2: Ao contrário do que ocorre na Relatividade de Galileu onde a velocidade relativa é a soma das velocidades
\[ \begin{gather} v'=v-\mu \\[5pt] v'=-0,80c-0,90c\\[5pt] v'=1,70c \end{gather} \]
na Relatividade de Einstein isto não ocorre porque não podemos ter velocidades maiores que a velocidade da luz.
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