Exercício Resolvido de Resistores
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Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B do circuito representado na figura.

Solução

Vamos redesenhar o circuito da seguinte maneira para facilitar a visualização (Figura 1)

Figura 1

Este tipo de circuito é resolvido usando a técnica chamada de transformação Triângulo-Estrela (também chamada Delta-Estrela ou ΔY), fazendo a seguinte modificação no circuito (Figura 2)

Figura 2

O resistor Ra será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{a}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}} \]
\[ \begin{gather} R_{a}=\frac{2RR}{2R+R+2R}\\ R_{a}=\frac{2R^{2}}{5R}\\ R_{a}=\frac{2}{5}R \tag{I} \end{gather} \]
O resistor Rb será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{b}=\frac{R_{1}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}} \]
\[ \begin{gather} R_{b}=\frac{2R2R}{2R+R+2R}\\ R_{b}=\frac{4R^{2}}{5R}\\ R_{b}=\frac{4}{5}R \tag{II} \end{gather} \]
O resistor Rc será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{c}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}} \]
\[ \begin{gather} R_{c}=\frac{R2R}{2R+R+2R}\\ R_{c}=\frac{2R^{2}}{5R}\\ R_{c}=\frac{2}{5}R \tag{III} \end{gather} \]
Então usando os valores de (I), (II) e (III) o circuito a ser resolvido torna-se o seguinte (Figura 3)

Figura 3

Os dois resistores entre os pontos D e E estão em série, o resistor equivalente é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}} \]
o resistor equivalente (R4) entre eles será
\[ R_{4}=\frac{4}{5}R+R \]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 5
\[ \begin{gather} R_{4}=\frac{4}{5}R+\frac{5}{5}R\\ R_{4}=\frac{9}{5}R \end{gather} \]
Os dois resistores entre os pontos D e F estão em série, o resistor equivalente (R5) entre eles será
\[ R_{5}=\frac{2}{5}R+2R \]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 5
\[ \begin{gather} R_{5}=\frac{2}{5}R+\frac{5}{5}.2R\\ R_{5}=\frac{2}{5}R+\frac{10}{5}R\\ R_{5}=\frac{12}{5}R \end{gather} \]
O circuito pode ser representado como (Figura 4)

Figura 4

Os dois resistores obtidos acima estão ligados em paralelo, o resistor equivalente é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{par}=\frac{R_{A}R_{B}}{R_{A}+R_{B}}} \]
o resistor equivalente (R6) entre eles será
\[ \begin{gather} R_{6}=\frac{R_{4}R_{5}}{R_{4}+R_{5}}\\ R_{6}=\frac{\frac{9}{5}R \frac{12}{5}R}{\frac{9}{5}R+\frac{12}{5}R}\\ R_{6}=\frac{\frac{108}{25}R^{2}}{\frac{21}{5}R}\\ R_{6}=\frac{\cancelto{36}{108}}{\cancelto{5}{25}}R^{\cancel{2}}\frac{\cancelto{1}{5}}{\cancelto{7}{21}}\frac{1}{\cancel{R}} \end{gather} \]
simplificando 108 e 21 por 3, 25 e 5 por 5 e R2 e R
\[ \begin{gather} R_{6}=\frac{36}{5}\frac{1}{7}R\\ R_{6}=\frac{36}{35}R \end{gather} \]
O circuito se reduz a dois resistores em série (Figura 5)

Figura 5

o resistor equivalente (Req) do circuito será
\[ R_{eq}=\frac{2}{5}R+\frac{36}{35}R \]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo do lado direito da igualdade por 7
\[ \begin{gather} R_{eq}=\frac{7}{7}.\frac{2}{5}R+\frac{36}{35}R\\ R_{eq}=\frac{14}{35}R+\frac{36}{35}R\\ R_{eq}=\frac{\cancelto{10}{50}}{\cancelto{7}{35}}R \end{gather} \]
simplificando o numerador e o denominador por 5
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {R_{eq}=\frac{10}{7}R} \]
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