Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B do circuito representado na figura.
Solução:
Vamos redesenhar o circuito da seguinte maneira para facilitar a visualização (Figura 1)
Este tipo de circuito é resolvido usando a técnica chamada de transformação Triângulo-Estrela (também chamada
Delta-Estrela ou ΔY), fazendo a seguinte modificação no circuito (Figura 2)
O resistor Ra será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R_a=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
R_a=\frac{2RR}{2R+R+2R} \\[5pt]
R_a=\frac{2R^2}{5R} \\[5pt]
R_a=\frac{2}{5}R \tag{I}
\end{gather}
\]
O resistor Rb será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R_b=\frac{R_1R_3}{R_1+R_2+R_3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
R_b=\frac{2R2R}{2R+R+2R} \\[5pt]
R_b=\frac{4R^2}{5R} \\[5pt]
R_b=\frac{4}{5}R \tag{II}
\end{gather}
\]
O resistor Rc será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R_c=\frac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
R_c=\frac{R2R}{2R+R+2R} \\[5pt]
R_c=\frac{2R^2}{5R} \\[5pt]
R_c=\frac{2}{5}R \tag{III}
\end{gather}
\]
Usando os valores de (I), (II) e (III) o circuito a ser resolvido torna-se o seguinte (Figura 3)
Os dois resistores entre os pontos D e E estão em série, o resistor equivalente é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R_{eq}=\sum_{i=1}^nR_i}
\end{gather}
\]
o resistor equivalente R4 entre eles será
\[
\begin{gather}
R_4=\frac{4}{5}R+R
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 5
\[
\begin{gather}
R_4=\frac{4}{5}R+\frac{5}{5}R \\[5pt]
R_4=\frac{9}{5}R
\end{gather}
\]
Os dois resistores entre os pontos D e F estão em série, o resistor equivalente
R5 entre eles será
\[
\begin{gather}
R_5=\frac{2}{5}R+2R
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 5
\[
\begin{gather}
R_5=\frac{2}{5}R+\frac{5}{5}\times 2R \\[5pt]
R_5=\frac{2}{5}R+\frac{10}{5}R \\[5pt]
R_5=\frac{12}{5}R
\end{gather}
\]
O circuito pode ser representado como (Figura 4)
Os dois resistores obtidos acima estão ligados em paralelo, o resistor equivalente é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R_{par}=\frac{R_{A}R_{B}}{R_{A}+R_{B}}}
\end{gather}
\]
o resistor equivalente R6 entre eles será
\[
\begin{gather}
R_6=\frac{R_4R_5}{R_4+R_5} \\[5pt]
R_6=\frac{\dfrac{9}{5}R\dfrac{12}{5}R}{\dfrac{9}{5}R+\dfrac{12}{5}R} \\[5pt]
R_6=\frac{\dfrac{108}{25}R^2}{\dfrac{21}{5}R} \\[5pt]
R_6=\frac{\cancelto{36}{108}}{\cancelto{5}{25}}R^{\cancel 2}\frac{\cancelto{1}{5}}{\cancelto{7}{21}}\frac{1}{\cancel R} \\[5pt]
R_6=\frac{36}{5}\frac{1}{7}R \\[5pt]
R_6=\frac{36}{35}R
\end{gather}
\]
O circuito se reduz a dois resistores em série (Figura 5)
o resistor equivalente Req do circuito será
\[
\begin{gather}
R_{eq}=\frac{2}{5}R+\frac{36}{35}R
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo do lado direito da igualdade por 7
\[
\begin{gather}
R_{eq}=\frac{7}{7}\times\frac{2}{5}R+\frac{36}{35}R \\[5pt]
R_{eq}=\frac{14}{35}R+\frac{36}{35}R \\[5pt]
R_{eq}=\frac{\cancelto{10}{50}}{\cancelto{7}{35}}R
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{R_{eq}=\frac{10}{7}R}
\end{gather}
\]
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