Exercício Resolvido de Resistores
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Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B do circuito representado na figura.
Solução
Vamos redesenhar o circuito da seguinte maneira para facilitar a visualização (Figura 1)
Este tipo de circuito é resolvido usando a técnica chamada de transformação Triângulo-Estrela (também chamada Delta-Estrela ou ΔY), fazendo a seguinte modificação no circuito (Figura 2)
O resistor Ra será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{R_{a}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}}
\]
\[
\begin{gather}
R_{a}=\frac{2RR}{2R+R+2R}\\
R_{a}=\frac{2R^{2}}{5R}\\
R_{a}=\frac{2}{5}R \tag{I}
\end{gather}
\]
O resistor Rb será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{R_{b}=\frac{R_{1}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}}
\]
\[
\begin{gather}
R_{b}=\frac{2R2R}{2R+R+2R}\\
R_{b}=\frac{4R^{2}}{5R}\\
R_{b}=\frac{4}{5}R \tag{II}
\end{gather}
\]
O resistor Rc será dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{R_{c}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}}
\]
\[
\begin{gather}
R_{c}=\frac{R2R}{2R+R+2R}\\
R_{c}=\frac{2R^{2}}{5R}\\
R_{c}=\frac{2}{5}R \tag{III}
\end{gather}
\]
Então usando os valores de (I), (II) e (III) o circuito a ser resolvido torna-se o seguinte (Figura 3)
Os dois resistores entre os pontos D e E estão em série, o resistor equivalente é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}}
\]
o resistor equivalente (R4) entre eles será
\[
R_{4}=\frac{4}{5}R+R
\]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 5
\[
\begin{gather}
R_{4}=\frac{4}{5}R+\frac{5}{5}R\\
R_{4}=\frac{9}{5}R
\end{gather}
\]
Os dois resistores entre os pontos D e F estão em série, o resistor equivalente
(R5) entre eles será
\[
R_{5}=\frac{2}{5}R+2R
\]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 5
\[
\begin{gather}
R_{5}=\frac{2}{5}R+\frac{5}{5}.2R\\
R_{5}=\frac{2}{5}R+\frac{10}{5}R\\
R_{5}=\frac{12}{5}R
\end{gather}
\]
O circuito pode ser representado como (Figura 4)
Os dois resistores obtidos acima estão ligados em paralelo, o resistor equivalente é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{R_{par}=\frac{R_{A}R_{B}}{R_{A}+R_{B}}}
\]
o resistor equivalente (R6) entre eles será
\[
\begin{gather}
R_{6}=\frac{R_{4}R_{5}}{R_{4}+R_{5}}\\
R_{6}=\frac{\frac{9}{5}R \frac{12}{5}R}{\frac{9}{5}R+\frac{12}{5}R}\\
R_{6}=\frac{\frac{108}{25}R^{2}}{\frac{21}{5}R}\\
R_{6}=\frac{\cancelto{36}{108}}{\cancelto{5}{25}}R^{\cancel{2}}\frac{\cancelto{1}{5}}{\cancelto{7}{21}}\frac{1}{\cancel{R}}
\end{gather}
\]
simplificando 108 e 21 por 3, 25 e 5 por 5 e R2 e R
\[
\begin{gather}
R_{6}=\frac{36}{5}\frac{1}{7}R\\
R_{6}=\frac{36}{35}R
\end{gather}
\]
O circuito se reduz a dois resistores em série (Figura 5)
o resistor equivalente (Req) do circuito será
\[
R_{eq}=\frac{2}{5}R+\frac{36}{35}R
\]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo do lado direito da igualdade por 7
\[
\begin{gather}
R_{eq}=\frac{7}{7}.\frac{2}{5}R+\frac{36}{35}R\\
R_{eq}=\frac{14}{35}R+\frac{36}{35}R\\
R_{eq}=\frac{\cancelto{10}{50}}{\cancelto{7}{35}}R
\end{gather}
\]
simplificando o numerador e o denominador por 5
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{R_{eq}=\frac{10}{7}R}
\]
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