Exercício Resolvido de Resistores
publicidade

Encontre a resistência equivalente do circuito representado na figura. Dados: R1 = 2 Ω e R2 = 4 Ω.

Dados do problema:

  • R1 = 2 Ω;
  • R2 = 4 Ω.

Solução:

O circuito representa uma associação de infinitos resistores, vamos chamar o resistor equivalente entre os pontos A e B de X (Figura 1).

Figura 1

Se separarmos os dois primeiros resistores à esquerda, a associação que sobra à direita dos pontos A' e B', destacada em vermelho na Figura 2, é igual ao circuito original do problema.

Figura 2

A resistência equivalente à direita de A' e B' também vale X e o circuito pode ser representado de maneira finita pelo seguinte esquema da Figura 3.
Temos dois resistores em paralelo (R2 e X) em série com o resistor R1.
Figura 3

A resistência equivalente de dois resistores em paralelo, Rpar, é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {R_{par}=\frac{R_{\small A}R_{\small B}}{R_{\small A}+R_{\small B}}} \end{gather} \]

com RA = R2 e RB = X. Somando este valor ao resistor R1 em série obtemos o valor da resistência equivalente X do problema

\[ \begin{gather} X=R_1+\frac{R_2X}{R_2+X} \end{gather} \]

substituindo os valores fornecidos pelo problema para R1 e R2

\[ \begin{gather} X=2+\frac{4X}{4+X} \end{gather} \]

multiplicando todos os membros da equação por (4+X)

\[ \begin{gather} X(4+X)=2(4+X)+\frac{4X}{4+X}(4+X) \\[5pt] 4X+X^2=8+2X+4X \\[5pt] X^2+4X-2X-4X-8=0 \\[5pt] X^2-2X-8=0 \end{gather} \]

Esta é uma Equação do 2.º Grau onde a incógnita é o valor desejado X.

Solução da equação \( X^2-2X-8=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times(-8)=4+32=36 \\[10pt] X=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{36\;}}{2\times 1}=\frac{2\pm 6}{2} \end{gather} \]
as duas raízes da equação são
\[ \begin{gather} X=4\;\Omega \qquad \text{ou} \qquad X=-2\;\Omega \end{gather} \]

Como não tem sentido resistência com valor negativo, a resistência equivalente vale 4 Ω.

publicidade