Exercício Resolvido de Resistores
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Encontre a resistência equivalente do circuito representado na figura. Dados: R1 = 2 Ω e R2 = 4 Ω.



Dados do problema:
  • R1 = 2 Ω;
  • R2 = 4 Ω.
Solução

O circuito representa uma associação de infinitos resistores, vamos chamar o resistor equivalente entre os pontos A e B de um X qualquer (Figura 1).

Figura 1

Se separarmos os dois primeiros resistores à esquerda, a associação que sobra à direita dos pontos A' e B', destacada em vermelho na Figura 2 abaixo, é igual ao circuito original do problema.

Figura 2

Assim a resistência equivalente à direita de A' e B' também vale X e o circuito pode ser representado de maneira finita pelo seguinte esquema da Figura 3.
Temos dois resistores em paralelo (R2 e X) em série com o resistor R1.

Figura 3

A resistência equivalente de dois resistores em paralelo (Rpar) pode ser calculada pela fórmula
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {R_{par}=\frac{R_{A}R_{B}}{R_{A}+R_{B}}} \]
com RA = R2 e RB = X. Somando este valor ao resistor R1 em série obtemos o valor da resistência equivalente X do problema
\[ X=R_{1}+\frac{R_{2}X}{R_{2}+X} \]
substituindo os valores fornecidos pelo problema para R1 e R2
\[ X=2+\frac{4X}{4+X} \]
multiplicando todos os membros da equação por (4+X)
\[ \begin{gather} X(4+X)=2(4+X)+\frac{4X}{4+X}(4+X)\\ 4X+X^{2}=8+2X+4X\\ X^{2}+4X-2X-4X-8=0\\ X^{2}-2X-8=0 \end{gather} \]
Esta é uma Equação do 2.º Grau onde a incógnita é o valor desejado X.

Solução da equação    \( X^{2}-2X-8=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4.1.(-8)=4+32=36\\[10pt] X=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{36\;}}{2.1}=\frac{2\pm 6}{2} \end{gather} \]
as duas raízes da equação serão
\[ X=4\;\Omega \qquad \text{ou} \qquad X=-2\;\Omega \]

Como não tem sentido resistência com valor negativo, a resistência equivalente vale 4 Ω.
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