Exercício Resolvido de Trabalho e Potencial Eléttico

Uma partícula com carga q₁ = 1 μC e massa 5 g é lançada na direção radial de outra partícula, com carga q₂ = 6 μC e fixa no espaço, a velocidade de lançamento é de 12 m/s de uma distância de 0,3 m. Determinar a que distância da partícula fixa a partícula lançada vai ter velocidade nula. Considere o meio o vácuo onde a constante eletrostática vale \( k_{0}=9.10^{9}\frac{\;\text{N m}^{2}}{\text{C}^{2}} \) e despreze efeitos gravitacionais.

Dados do problema:

Carga 1: q₁ = 1 μC;
Carga 2: q₂ = 6 μC;
Velocidade inicial da carga 1: v_i = 12 m/s;
Velocidade final da carga 1: v_f = 0;
Distância inicial da carga 1: d_i = 0,3 m;
Massa da carga 1: m = 5 g;
Constante eletrostática do vácuo: \( k_{0}=9.10^{9}\frac{\;\text{N m}^{2}}{\text{C}^{2}} \).

Esquema do problema:

A carga 2 é positiva, q₂ > 0, então ela gera um campo elétrico de afastamento, apontando para fora da carga. A carga 1 é lançada radialmente então segue uma linha de campo, como a carga é positiva, q₁ > 0, e como \( \vec{F}=q\vec{E} \), a força elétrica sobre a carga 1 tem a mesma direção e sentido do campo elétrico. A carga é lançada no sentido oposto ao campo ela sofrerá uma desaceleração devido à força elétrica até parar.

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar vamos converter a unidade de massa dada em gramas (g) para quilogramas (kg) usado no Sistema Internacional (S.I.).

\[ m=5\;\text{g}=5.10^{-3}\;\text{kg} \]

Inicialmente a partícula 1 no ponto A está sob o potencial, V_A, deste ponto, ao se deslocar para o ponto B passa para um potencial, V_B, neste deslocamento há a realização de um trabalho dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{A}^{B}=q\left(V_{A}-V_{B}\right)} \tag{I} \end{gather} \]

Figura 2

Pelo Teorema da Energia Cinética da Mecânica Clássica o trabalho para um corpo ir A até B é dado pela variação da Energia Cinética (Figura 2)

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{A}^{B}=\frac{mv_{f}^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2}} \tag{II} \end{gather} \]

Igualando as expressões (I) e (II)

\[ \begin{gather} q_{1}\left(V_{A}-V_{B}\right)=\frac{mv_{f}^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2} \tag{III} \end{gather} \]

O potencial gerado por uma carga em uma posição do espaço é dado por

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {V=k_{0}\frac{Q}{r}} \]

o potencial gerado pela carga 2 nos pontos A e B será

\[ \begin{gather} V_{A}=k_{0}\frac{q_{2}}{d_{i}} \tag{IV-a} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} V_{B}=k_{0}\frac{q_{2}}{d_{f}} \tag{IV-b} \end{gather} \]

substituindo as expressões (IV-a) e (IV-b) na expressão (III)

\[ q_{1}\;\left(k_{0}\frac{q_{2}}{d_{i}}-k_{0}\frac{q_{2}}{d_{f}}\right)=\frac{mv_{f}^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2} \]

colocando k₀q₂ em evidência no lado esquerdo da igualdade e sendo v_f = 0 do lado direito

\[ \begin{gather} q_{1}k_{0}q_{2}\;\left(\frac{1}{d_{i}}-\frac{1}{d_{f}}\right)=\frac{m .0^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2}\\ \frac{1}{d_{i}}-\frac{1}{d_{f}}=-{\frac{mv_{i}^{2}}{2k_{0}q_{1}q_{2}}}\\ \frac{1}{d_{f}}=\frac{1}{d_{i}}+\frac{mv_{i}^{2}}{2k_{0}q_{1}q_{2}} \end{gather} \]

substituindo os valores numéricos dados no problema

\[ \begin{gather} \frac{1}{d_{f}}=\frac{1}{3.10^{-1}}+\frac{5.10^{-3}.12^{2}}{2.9.10^{9}.1.10^{-6}.6.10^{-6}}\\[5pt] \frac{1}{d_{f}}=\frac{10}{3}+\frac{5.144.10^{-3}}{108.10^{-3}}\\[5pt] \frac{1}{d_{f}}=\frac{10}{3}+\frac{720}{108} \end{gather} \]

simplificando a fração \( \dfrac{720}{108} \) dividindo o denominador e numerador por 36, \( \dfrac{720:36}{108:36}=\dfrac{20}{3} \)

\[ \begin{gather} \frac{1}{d_{f}}=\frac{10}{3}+\frac{20}{3}\\ \frac{1}{d_{f}}=\frac{30}{3}\\ d_{f}=\frac{3}{30} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {d_{f}=0,1\;\text{m}} \]

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