Exercício Resolvido de Trabalho e Potencial Elétrico

Uma partícula com carga q₁ = 1 μC e massa 5 g é lançada na direção radial de outra partícula, com carga q₂ = 6 μC e fixa no espaço, a velocidade de lançamento é de 12 m/s de uma distância de 0,3 m. Determinar a que distância da partícula fixa a partícula lançada vai ter velocidade nula. Considere o meio o vácuo onde a constante eletrostática vale \( k_0=9\times 10^9\frac{\;\mathrm{N m}^2}{\mathrm{C}^2} \) e despreze efeitos gravitacionais.

Dados do problema:

Carga 1: q₁ = 1 μC;
Carga 2: q₂ = 6 μC;
Velocidade inicial da carga 1: v_i = 12 m/s;
Velocidade final da carga 1: v_f = 0;
Distância inicial da carga 1: d_i = 0,3 m;
Massa da carga 1: m = 5 g;
Constante eletrostática do vácuo: \( k_0=9\times 10^9\frac{\;\mathrm{N m}^2}{\mathrm{C}^2} \).

Esquema do problema:

A carga 2 é positiva, q₂ > 0, então ela gera um campo elétrico de afastamento, apontando para fora da carga. A carga 1 é lançada radialmente então segue uma linha de campo, como a carga é positiva, q₁ > 0, e como \( \vec F=q\vec E \), a força elétrica sobre a carga 1 tem a mesma direção e sentido do campo elétrico. A carga é lançada no sentido oposto ao campo ela sofrerá uma desaceleração devido à força elétrica até parar.

Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar vamos converter a unidade de massa dada em gramas (g) para quilogramas (kg) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.).

\[ \begin{gather} m=5\;\mathrm g=5\times 10^{-3}\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

Inicialmente a partícula 1 no ponto A está sob o potencial, V_A, deste ponto, ao se deslocar para o ponto B passa para um potencial, V_B, neste deslocamento há a realização de um trabalho dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small A}^{\small B}=q\left(V_{\small A}-V_{\small B}\right)} \tag{I} \end{gather} \]

Figura 2

Pelo Teorema da Energia Cinética da Mecânica Clássica o trabalho para um corpo ir A até B é dado pela variação da Energia Cinética (Figura 2)

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {W_{\small A}^{\small B}=\frac{mv_f^2}{2}-\frac{mv_i^2}{2}} \tag{II} \end{gather} \]

Igualando as equações (I) e (II)

\[ \begin{gather} q_1\left(V_{\small A}-V_{\small B}\right)=\frac{mv_f^2}{2}-\frac{mv_i^2}{2} \tag{III} \end{gather} \]

O potencial gerado por uma carga em uma posição do espaço é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=k_0\frac{Q}{r}} \end{gather} \]

o potencial gerado pela carga 2 nos pontos A e B será

\[ \begin{gather} V_{\small A}=k_0\frac{q_2}{d_i} \tag{IV-a} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} V_{\small B}=k_0\frac{q_2}{d_f} \tag{IV-b} \end{gather} \]

substituindo as equações (IV-a) e (IV-b) na equação (III)

\[ \begin{gather} q_1\;\left(k_0\frac{q_2}{d_i}-k_0\frac{q_2}{d_f}\right)=\frac{mv_f^2}{2}-\frac{mv_i^2}{2} \end{gather} \]

colocando k₀q₂ em evidência no lado esquerdo da igualdade e sendo v_f = 0 do lado direito

\[ \begin{gather} q_1k_0q_2\;\left(\frac{1}{d_i}-\frac{1}{d_f}\right)=\frac{m\times 0^2}{2}-\frac{mv_i^2}{2} \\[5pt] \frac{1}{d_i}-\frac{1}{d_f}=-{\frac{mv_i^2}{2k_0q_1q_2}} \\[5pt] \frac{1}{d_f}=\frac{1}{d_i}+\frac{mv_i^2}{2k_0q_1q_2} \end{gather} \]

substituindo os valores numéricos dados no problema

\[ \begin{gather} \frac{1}{d_f}=\frac{1}{3\times 10^{-1}}+\frac{5\times 10^{-3}\times 12^2}{2\times 9\times 10^9\times 1\times 10^{-6}\times 6\times 10^{-6}} \\[5pt] \frac{1}{d_f}=\frac{10}{3}+\frac{5\times 144\times 10^{-3}}{108\times 10^{-3}} \\[5pt] \frac{1}{d_f}=\frac{10}{3}+\frac{720}{108} \end{gather} \]

simplificando a fração \( \dfrac{720}{108} \) dividindo o denominador e numerador por 36, \( \dfrac{720:36}{108:36}=\dfrac{20}{3} \)

\[ \begin{gather} \frac{1}{d_f}=\frac{10}{3}+\frac{20}{3} \\[5pt] \frac{1}{d_f}=\frac{30}{3} \\[5pt] d_f=\frac{3}{30} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {d_f=0,1\;\mathrm m} \end{gather} \]