Duas gotas de água, isoladas, cujos raios são 0,4 mm e 0,6 mm, são carregadas respectivamente com
8×10−8 C e 1,2×10−7 C. Calcule o potencial da gota que se
forma pela união das duas gotas.
Dados do problema:
- Raio da gota 1: r1 = 0,4 mm;
- Carga 1: q1 = 8×10−8 C;
- Raio da gota 2: r2 = 0,6 mm;
- Carga 2: q2 = 1,2×10−7 C;
-
Assumindo que sistema está no vácuo então adotamos a Constante Eletrostática:
\( k_0=9\times 10^9\frac{\;\mathrm{N m}^2}{\mathrm{C}^2} \).
Esquema do problema:
Solução:
Em primeiro lugar devemos converter as unidades dos raios das gotas dados em milímetros (mm) para metros
(m), usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[
\begin{gather}
1\;\mathrm{mm}=10^{-3}\;\mathrm m\\[10pt]
r_1=0,4\;\mathrm{mm}=4\times 10^{-1}\times 10^{-3}\;\mathrm m=4\times 10^{-4}\;\mathrm m\\[10pt]
r_2=0,6\;\mathrm{mm}=6\times 10^{-1}\times 10^{-3}\;\mathrm m=6\times 10^{-4}\;\mathrm m
\end{gather}
\]
O potencial de um condutor esférico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=k_0\frac{Q}{r}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Como a carga se conserva, a carga da gota formada pela união das gotas primitivas será a soma das cargas de
cada uma das gotas
\[
\begin{gather}
Q=q_1+q_2 \tag{II}
\end{gather}
\]
O volume, v, da nova gora será a soma dos volumes das gotas iniciais, v1 e
v2
\[
\begin{gather}
v=v_1+v_2 \tag{III}
\end{gather}
\]
O volume de uma esfera é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{4}{3}\pi r^3}
\end{gather}
\]
Os volumes das gotas iniciais e da gota resultante da união, consideradas esféricas, são dados por
\[
\begin{gather}
v=\frac{4}{3}\pi R^3 \tag{IV-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_1=\frac{4}{3}\pi r_1^3 \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_2=\frac{4}{3}\pi r_2^3 \tag{IV-c}
\end{gather}
\]
substituindo as três equações (IV-a), (IV-b) e (IV-c) na equação (III)
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel 4}{\cancel 3}\cancel{\pi} R^3=\frac{\cancel 4}{\cancel 3}\cancel{\pi} r_1^3+\frac{\cancel 4}{\cancel 3}\cancel{\pi} r_2^3 \\[5pt]
R^3=r_1^3+r_2^3 \\[5pt]
R=\sqrt[3]{r_1^3+r_2^3\;} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a equações (II) e (V) na equação (I)
\[
\begin{gather}
V=k_0\frac{q_1+q_2}{\sqrt[3]{r_1^3+r_2^3\;}}
\end{gather}
\]
substituindo os valores numéricos do problema
\[
\begin{gather}
V=9\times 10^9\times\frac{8\times 10^{-8}+1,2\times 10^{-7}}{\sqrt[3]{\left(4\times 10^{-4}\right)^3+\left(6\times 10^{-4}\right)^3\;}} \\[5pt]
V=9\times 10^9\times\frac{8\times 10^{-8}+12\times 10^{-8}}{\sqrt[3]{64\times 10^{-12}+216\times 10^{-12}\;}} \\[5pt]
V=9\times 10^9\times\frac{20\times 10^{-8}}{\sqrt[3]{280\times 10^{-12}\;}} \\[5pt]
V=9\times 10^9\times\frac{20\times 10^{-8}}{6,5\times 10^{-4}} \\[5pt]
V=\frac{180\times 10}{6,5\times 10^{-4}} \\[5pt]
V=\frac{180\times 10\times 10^4}{6,5} \\[5pt]
V=28\times 10\times 10^4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{V\approx 2,8\times 10^6\;\mathrm V}
\end{gather}
\]
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