Uma carga Q = −3 μC está fixa em um ponto O do espaço. Os pontos A,
B e C distam, respectivamente, 1,0 m, 3,0 m e 6,0 m de O. A carga está colocada
no vácuo, onde
\( k_0=9\times 10^9\;\frac{\mathrm{N.m}^2}{\mathrm{C}^2} \).
a) Calcular e representar o vetor campo elétrico em B.
b) Qual o potencial eletrostático em B?
c) Qual a energia potencial de uma partícula de q = −5 nC colocada em C? Considere
a energia potencial igual a zero no infinito;
d) Qual o trabalho de um operador, necessário para trazer a partícula q do infinito até o ponto
C?
e) Qual o trabalho da força elétrica nesse deslocamento?
f) Qual o trabalho de um operador quando q é deslocada de C até A?
g) Qual o trabalho da força elétrica nesse deslocamento?
Dados do problema:
- Carga Q: Q = −3 μC = −3.10−6 C;
- Carga q: q = −5 nC = −3.10−9 C;
- Distância \( \overline{OA} \): rA = 1,0 m;
- Distância \( \overline{OB} \): rB = 3,0 m;
- Distância \( \overline{OC} \): rC = 6,0 m.
Solução:
a) O campo elétrico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=k_0\frac{q}{r^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{\small B}=k_0\frac{Q}{r_{\small B}^2} \\[5pt]
E_{\small B}=9\times 10^9\times\frac{\left(-3\times 10^{-6}\right)}{3,0^2} \\[5pt]
E_{\small B}=9\times 10^9\times\frac{\left(-3\times 10^{-6}\right)}{9,0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{\small B}=-3\times 10^3\;\frac{\mathrm N}{\mathrm{C}}}
\end{gather}
\]
Como a carga elétrica é negativa, Q < 0, então ela gera um campo de aproximação que aponta no
sentido da própria carga (Figura 1).
b) O potencial eletrostático é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=k_0\frac{Q}{r}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
V_{\small B}=k_0\frac{Q}{r_{\small B}} \\[5pt]
V_{\small B}=9\times 10^9\times\frac{\left(-3\times 10^{-6}\right)}{3,0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{V_{\small B}=-9\times 10^3\;\mathrm V}
\end{gather}
\]
c) Sendo a energia potencial igual a zero no infinito, a energia potencial no ponto C será
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{U=k_0\frac{Qq}{r}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
U_{\small C}=k_0\frac{Qq}{r_{\small C}} \\[5pt]
U_{\small C}=9\times 10^9\times\frac{\left(-3\times 10^{-6}\right)\times\left(-5\times 10^{-9}\right)}{6,0} \\[5pt]
U_{\small C}=\frac{135\times 10^{-6}}{6,0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{U_{\small C}=2,3\times 10^{-5}\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
d) O trabalho do operador para trazer uma partícula do infinito até o ponto P,
\( _{op}W_{\infty }^{\small P} \),
é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{_{op}W_{\infty }^{\small P}=qV_{\small P}} \tag{I}
\end{gather}
\]
para o cálculo do trabalho precisamos encontrar primeiro potencial no ponto C,
VC
\[
\begin{gather}
V_{\small C}=k_0\frac{Q}{r_{\small C}} \\[5pt]
V_{\small C}=9\times 10^9\times\frac{\left(-3\times 10^{-6}\right)}{6,0} \\[5pt]
V_{\small C}=-4,5\times 10^3\;\mathrm V
\end{gather}
\]
substituindo este valor na equação (I)
\[
\begin{gather}
_{op}W_{\infty}^{\small C}=qV_{\small C} \\[5pt]
_{op}W_{\infty}^{\small C}=\left(-5\times 10^{-9}\right)\times\left(-4,5\times 10^3\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{_{op}W_{\infty}^{\small C}=2,3\times 10^{-5}\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
e) A carga elétrica Q gera no ponto C um campo de aproximação, assim com o calculado no
item (a) para o ponto B. A carga q tem valor negativo, q < 0, então a força que
atua nesta carga é no sentido oposto ao do campo, é uma força de afastamento (Figura 2).
Como a carga se desloca no sentido contrário ao da força, o trabalho realizado pelo campo elétrico será
negativo, e de mesmo módulo ao calculado no item anterior.
\[
\begin{gather}
_{el}W_{\infty}^{\small C}=-_{op}W_{\infty }^{\small C}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{_{el}W_{\infty}^{\small C}=-2,3\times 10^{-5}\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
f) Como o campo elétrico é conservativo o trabalho para deslocar uma carga elétrica entre dois pontos
do espaço não depende do caminho escolhido (em vermelho na Figura 3), depende apenas da diferença de
potencial dos pontos escolhidos. O deslocamento neste caso se dá contra a direção da força e o trabalho
do operador será positivo,
\( _{op}W_{\small C}^{\small A} > 0 \).
\[
\begin{gather}
_{op}W_{\small C}^{\small A}=q\left(V_{\small A}-V_{\small C}\right) \tag{II}
\end{gather}
\]
para o cálculo do trabalho devemos achar o valor do potencial em
A
\[
\begin{gather}
V_{\small A}=k_0\frac{Q}{r_{\small A}} \\[5pt]
V_{\small A}=9\times 10^9\times\frac{\left(-3\times 10^{-6}\right)}{1,0} \\[5pt]
V_{\small A}=27\times 10^3\;\mathrm V
\end{gather}
\]
substituindo este valor na equação (II) e o valor de
VC encontrado anteriormente temos
que o trabalho para levar uma carga do ponto
C até
A será
\[
\begin{gather}
_{op}W_{\small C}^{\small A}=\left(-5\times 10^{-9}\right)\times\left[-27\times 10^3-\left(-4,5\times 10^3\right)\right] \\[5pt]
_{op}W_{\small C}^{\small A}=\left(-5\times 10^{-9}\right)\times\left[\left(-27+4,5\right)\times 10^3\right] \\[5pt]
_{op}W_{\small C}^{\small A}=\left(-5\times 10^{-9}\right)\times\left(-22,5\times 10^3\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{_{op}W_{\small C}^{\small A}=1,1\times 10^{-4}\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
g) Como a carga se desloca no sentido contrário ao da força elétrica o trabalho do campo elétrico será
negativo,
\( _{el}W_{\small C}^{\small A} < 0 \)
\[
\begin{gather}
_{el}W_{\small C}^{\small A}=q\left(V_{\small C}-V_{\small A}\right) \\[5pt]
_{el}W_{\small C}^{\small A}=\left(-5\times 10^{-9}\right)\times\left[-4,5\times 10^3-\left(-27\times 10^3\right)\right] \\[5pt]
_{el}W_{\small C}^{\small A}=\left(-5\times 10^{-9}\right)\times\left[\left(-4,5+27\right)\times 10^3\right] \\[5pt]
_{el}W_{\small C}^{\small A}=\left(-5\times 10^{-9}\right)\times\left(22,5\times 10^3\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{_{el}W_{\small C}^{\small A}=-1,1\times 10^{-4}\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
EN
