Exercício Resolvido de Correntes Fictícias de Maxwell

No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.

Dados do problema:

Resistores:

R₁ = 1 Ω;
R₂ = 2 Ω;
R₃ = 1 Ω;
R₄ = 2 Ω;
R₅ = 1 Ω;
R₆ = 2 Ω;

Baterias:

E₁ = 10 V;
E₂ = 20 V;
E₃ = 10 V;
E₄ = 20 V;

Solução:

Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. Nas malhas ABGHA, BCFGB e CDEFC temos, respectivamente, as correntes i₁, i₂ e i₃ no sentido horário (Figura 1).

Figura 1

Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff à malha i₁ a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo as malhas i₂ e i₃ (Figura 2)

Figura 2

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_n V_n=0} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} R_1i_1-E_2+R_6i_1-E_1=0 \end{gather} \]

substituindo os valores do problema

\[ \begin{gather} 1i_1-20+2i_1-10=0 \\[5pt] 3i_1-30=0 \\[5pt] 3i_1=30 \\[5pt] i_1=\frac{30}{3} \\[5pt] i_1=10\;\mathrm A \end{gather} \]

Esquecendo as malhas i1 e i₃ e aplicando a Lei das Malhas à malha i₂, como foi feito acima, temos pela Figura 3, a partir do ponto B

Figura 3

\[ \begin{gather} R_2i_2+E_3+R_5i_2+E_2=0 \end{gather} \]

substituindo os valores

\[ \begin{gather} 2i_2+10+1i_2+20=0 \\[5pt] 3i_2+30=0 \\[5pt] 3i_2=-30 \\[5pt] i_2=\frac{-30}{3} \\[5pt] i_2=-10\;\mathrm A \end{gather} \]

Esquecendo as malhas i₁ e i₂ e aplicando a Lei das Malhas à malha i₃, como foi feito acima, temos pela Figura 4, a partir do ponto C

Figura 4

\[ \begin{gather} R_3i_3-E_4+R_4i_3-E_3=0 \end{gather} \]

substituindo os valores

\[ \begin{gather} 1i_3-20+2i_3-10=0 \\[5pt] i_3+2i_3-30=0 \\[5pt] 3i_3=30 \\[5pt] i_3=\frac{30}{3} \\[5pt] i_3=10\;\mathrm A \end{gather} \]

No ramo BG vai circular uma corrente i₄ dada por

\[ \begin{gather} i_4=i_1-i_2 \\[5pt] i_4=10-(-10) \\[5pt] i_4=10+10 \\[5pt] i_4=20\;\mathrm A \end{gather} \]

O sentido da corrente i₄ será o mesmo da corrente i₁.
No ramo CF vai circular uma corrente i₅ dada por

\[ \begin{gather} i_5=i_3-i_2 \\[5pt] i_5=10-(-10) \\[5pt] i_5=10+10 \\[5pt] i_5=20\;\mathrm A \end{gather} \]

O sentido da corrente i₅ será o mesmo da corrente i₃.
Como o valor da corrente i₂ é negativo, isto indica que seu verdadeiro sentido é contrário ao escolhido na Figura 1. Os valores das correntes são i₁=10 A, i₂=10 A, i₃=10 A, i₄=20 A, e i₅=20 A, e seus sentidos estão mostrados na Figura 5.

Figura 5