No circuito abaixo o capacitor se encontra totalmente carregado, nesta condição determine:
a) A corrente no circuito;
b) A diferença de potencial (ddp) no capacitor;
c) A carga elétrica armazenada no capacitor;
d) A energia potencial elétrica no capacitor.
Dados do problema:
Resistores
- R1 = 1 Ω;
- R2 = 3 Ω;
- R3 = 5 Ω;
Capacitor
Baterias
- E1 = 12 V;
- E2 = 2 V;
- E3 = 4 V;
Solução:
a) O problema nos diz que o capacitor está totalmente carregado, isto significa que no ramo BE a
corrente é zero (iBE=0 - Figura 1).
Podemos desconsiderar o ramo BE, assim ficamos com um circuito de uma só malha (ACDFA).
Em primeiro lugar a esse circuito atribuímos, aleatoriamente, o sentido horário para a corrente. Em segundo
lugar atribuímos um sentido, também aleatório, o sentido horário para percorrer o circuito (Figura 2).
- Aplicando a Lei das Malhas
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_n V_n=0}
\end{gather}
\]
A partir do ponto A no sentindo escolhido
\[
\begin{gather}
R_2i+E_3+R_3i-E_1+R_1i=0 \\[5pt]
R_2i+R_3i+R_1i=E_1-E_3
\end{gather}
\]
colocando a corrente i em evidência do lado esquerdo da equação
\[
\begin{gather}
i(R_2+R_3+R_1)=E_1-E_3 \\[5pt]
i=\frac{E_1-E_3}{R_2+R_3+R_1}
\end{gather}
\]
substituindo os valores do problema
\[
\begin{gather}
i=\frac{12-4}{3+5+8} \\[5pt]
i=\frac{8}{16}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{i=0,5\;\mathrm A}
\end{gather}
\]
Como a corrente é positiva, o sentido da corrente escolhida na Figura 2 está correto.
b) Para encontrar a diferença de potencial no capacitor usamos o circuito completo novamente (Figura 3).
Usamos a malha ABEFA, a corrente com o sentido determinado no item (a) e percorrendo a malha no
mesmo sentido da corrente.
- Aplicando a Lei das Malhas
A partir do ponto A
\[
\begin{gather}
E_2+\Delta V_c-E_1+R_1i=0 \\[5pt]
\Delta V_c=-E_2+E_1-R_1i
\end{gather}
\]
substituindo os valores do problema e a corrente encontrada no item anterior
\[
\begin{gather}
\Delta V_c=-2+12-8\times 0,5 \\[5pt]
\Delta V_c=10-4
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta V_c=6\;\mathrm V}
\end{gather}
\]
Observação: Poderíamos ter feito o cálculo usando a malha
BCDEB, mas foi usada a malha
ABEFA por ter menos elementos para o cálculo.
Se usássemos a malha
BCDEB, teríamos a partir do ponto
B
\[
\begin{gather}
R_2i+E_3+R_3i+\Delta V_c-E_2=0 \\[5pt]
\Delta V_c=-R_2i-E_3-R_3i+E_2 \\[5pt]
\Delta V_c=-3\times 0,5-4-5\times 0,5+2 \\[5pt]
\Delta V_c=-1,5-4-2,5+2 \\[5pt]
\Delta V_c=-1,5-4-2,5+2 \\[5pt]
\Delta V_c=-6\mathrm V
\end{gather}
\]
o sinal de negativo se deve ao fato de que percorremos o capacitor no sentido contrário ao da queda de
tensão.
c) A carga armazenada no capacitor é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{Q=C U}
\end{gather}
\]
substituindo o valor do capacitor dado no problema, e sendo ΔV=U o valor
encontrado no item (b).
\[
\begin{gather}
Q=2\times 10^{-6}\times 6 \\[5pt]
Q=12\times 10^{-6}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{Q=12\;\mu \mathrm C}
\end{gather}
\]
d) A energia potencial elétrica armazenada num capacitor é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_{\small P}=\frac{QU}{2}}
\end{gather}
\]
substituindo o valor da diferença de potencial do item (a) e a carga determinada no item (c)
\[
\begin{gather}
E_{\small P}=\frac{12\times 10^{-6}\times 6}{2} \\[5pt]
E_{\small P}=\frac{72\times 10^{-6}}{2} \\[5pt]
E_{\small P}=36\times 10^{-6}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{\small P}=36\;\mu \mathrm J}
\end{gather}
\]
Observação: Outras fórmulas poderiam ser usadas no cálculo da energia potencial elétrica
\[
\begin{gather}
E_{\small P}=\frac{QU}{2}=\frac{CU^2}{2}=\frac{Q^2}{2C}
\end{gather}
\]
como todas as grandezas que aparecem nessas fórmulas são conhecidas no problema
\[
\begin{gather}
Q=12\times 10^{-6}\;\mathrm{C};\ \ C=2\times 10^{-6}\;\mathrm{F};\ \ \Delta V=U=6\;\mathrm V
\end{gather}
\]
a aplicação de qualquer uma dessas fórmulas levaria a mesma solução.
\[
\begin{gather}
E_{\small P}=\frac{12\times 10^{-6}\times 6}{2}=\frac{2\times 10^{-6}\times 6^2}{2}=\frac{(12\times 10^{-6})^2}{2.2\times 10^{-6}} \\[5pt]
E_{\small P}=\frac{72\times 10^{-6}}{2}=\frac{2\times 10^{-6}\times 36}{2}=\frac{144\times 10^{-12}}{4\times 10^{-6}} \\[5pt]
E_{\small P}=36\times 10^{-6}\;\mathrm{J}
\end{gather}
\]
EN
