Exercício Resolvido de Leis de Kirchhoff
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No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.

Dados do problema:

Resistores:

  • R1 = 2 Ω;
  • R2 = 3 Ω;
  • R3 = 2 Ω;
  • R4 = 2 Ω;
  • R5 = 3 Ω;
  • R6 = 2 Ω;
  • R7 = 3 Ω;
  • R8 = 2 Ω;

f.e.m. das pilhas:

  • E1 = 5 V;
  • E2 = 5 V;
  • E3 = 4 V;

Solução:

Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo GHAB temos a corrente i1 no sentido horário, no ramo BC a corrente i3 indo de B para C, no ramo CDEF a corrente i4 no sentido horário, no ramo CF a corrente i5 indo de C para F, no ramo FG a corrente i6 indo de F para G e no ramo BG a corrente i3 indo de B para G. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha α (GHABG), malha β (BCFGB) e malha γ (CDEFC) todas percorridas no sentido horário (Figura 1).

Figura 1
  • Aplicando a Lei dos Nós
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_n i_n=0} \end{gather} \]

A corrente i1 chega ao nó B e as correntes i2 e i3 saem dele

\[ \begin{gather} i_1=i_2+i_3 \\[5pt] i_1-i_2-i_3=0 \tag{I} \end{gather} \]

A corrente i2 chega ao nó C e as correntes i4 e i5 saem dele

\[ \begin{gather} i_2=i_4+i_5 \\[5pt] i_2-i_4-i_5=0 \tag{II} \end{gather} \]

As correntes i4 e i5 chegam ao nó F e a corrente i6 sai dele

\[ \begin{gather} i_6=i_4+i_5 \\[5pt] i_4+i_5-i_6=0 \tag{III} \end{gather} \]
  • Aplicando a Lei das Malhas
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_n V_n=0} \end{gather} \]

Para a malha α a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo as malhas β e γ (Figura 2),

Figura 2
\[ \begin{gather} R_2i_1+R_3i_3+R_1i_1-E_1=0 \end{gather} \]

substituindo os valores do problema fica

\[ \begin{gather} 3i_1+2i_3+2i_1-5=0 \\[5pt] 5i_1+2i_3=5 \tag{IV} \end{gather} \]

Para a malha β a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e γ (Figura 3)

Figura 3
\[ \begin{gather} R_4i_2-E_2+R_6i_5+R_5i_6-R_3i_3=0 \end{gather} \]

substituindo os valores

\[ \begin{gather} 2i_2-5+2i_5+3i_6-2i_3=0 \\[5pt] 2i_2-2i_3+2i_5+3i_6=5 \tag{V} \end{gather} \]

Para a malha γ a partir do ponto C no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e β (Figura 4),

Figura 4
\[ \begin{gather} R_8i_4-E_3+R_7i_4-R_6i_5+E_2=0 \end{gather} \]

substituindo os valores

\[ \begin{gather} 2i_4-4+3i_4-2i_5+5=0 \\[5pt] 5i_4-2i_5+1=0 \\[5pt] 5i_4-2i_5=-1 \tag{VI} \end{gather} \]

Com as equações (I), (II), (III), (IV), (V) e (VI) temos um sistema de seis equações a seis incógnitas ( i1, i2, i3, i4, i5 e i6 )

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} \;5i_1+2i_3=5 \\ \;2i_2-2i_3+2i_5+3i_6=5 \\ \;5i_4-2i_5=-1 \\ \;i_1-i_2-i_3=0 \\ \;i_2-i_4-i_5=0 \\ \;i_4+i_5-i_6=0 \end{array} \right. \tag{VII} \end{gather} \]

escrevendo o sistema como

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} \;5i_1+0i_2+2i_3+0i_4+0i_5+0i_6=5 \\ \;0i_1+2i_2-2i_3+0i_4+2i_5+3i_6=5 \\ \;0i_1+0i_2+0i_3+5i_4-2i_5+0i_6=-1 \\ \;1i_1-1i_2-1i_3+0i_4+0i_5+0i_6=0 \\ \;0i_1+1i_2+0i_3-1i_4-1i_5+0i_6=0 \\ \;0i_1+0i_2+0i_3+1i_4+1i_5-1i_6=0 \end{array} \right. \end{gather} \]

este sistema pode ser representado pela matriz a seguir, onde os valores a esquerda da linha pontilhada representam a matriz dos coeficientes das correntes e os valores a direita representam o vetor dos termos independentes, chamada de matriz aumentada.

\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;1& -1& -1& 0& 0& 0 \;& \vdots& 0 \;\\ \;0& 1& 0& -1& -1& 0 \;& \vdots& 0 \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;& \vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \end{gather} \]

Para resolver o sistema usamos o Método da Eliminação de Gauss.

Observação: O Método da Eliminação de Gauss para resolver este sistema consiste em escalonar esta matriz de modo a obter uma matriz triangular superior. Para fazer o escalonamento podemos realizar operações sobre as linhas da matriz como multiplicar ou dividir uma linha inteira (no caso incluindo o vetor dos termos independentes) por um número, podemos somar ou subtrair uma linha de outra e podemos inverter duas linhas de posição. Uma matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos.

Para que o elemento a41=1 seja “zerado” vamos dividir a 1.ª linha por −5 e somar com a 4.ª linha e substituir na 4.ª linha \( \left(\;\frac{L_1}{-5}+L_4\;\rightarrow \;L_4\;\right) \)

\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;1& -1& -1& 0& 0& 0 \;& \vdots& 0 \;\\ \;0& 1& 0& -1& -1& 0 \;& \vdots& 0 \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;& \vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \qquad\frac{L_1}{-5}+L_4\rightarrow L_4 \end{gather} \]
  • \( a_{41}=\frac{5}{-5}+1=-1+1=0 \)
    \( a_{41}=\frac{5}{-5}+1=-1+1=0 \)
  • \( a_{42}=\frac{0}{-5}+(-1)=0-1=-1 \)
    \( a_{42}=\frac{0}{-5}+(-1)=0-1=-1 \)
  • \( a_{43}=\frac{2}{-5}+(-1)=-{\frac{2}{5}}-1 \) , multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{43}=-{\frac{2}{5}}-1\times\frac{5}{5}=-{\frac{2}{5}}-\frac{5}{5}=-\frac{7}{5} \)
    \( a_{43}=\frac{2}{-5}+(-1)=-{\frac{2}{5}}-1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{43}=-{\frac{2}{5}}-1\times\frac{5}{5}=-{\frac{2}{5}}-\frac{5}{5}=-\frac{7}{5} \)
  • \( a_{44}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{45}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{46}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( v_4=\frac{5}{-5}+0=-1 \)
\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;0& -1& -{\frac{7}{5}}& 0& 0& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;0& 1& 0& -1& -1& 0 \;& \vdots& 0 \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;& \vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \end{gather} \]

Para que o elemento a42=−1 seja “zerado” vamos dividir a 2.ª linha por 2 e somar com a 4.ª linha e substituir na 4.ª linha \( \left(\;\frac{L_2}{2}+L_4\rightarrow L_4\;\right) \).
Para que o elemento a52=1 seja “zerado” vamos dividir a 2.ª linha por −2 e somar com a 5.ª linha e substituir na 5.ª linha \( \left(\;\frac{L_2}{-2}+L_5\rightarrow L_5\;\right) \)

\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;0& -1& -{\frac{7}{5}}& 0& 0& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;0& 1& 0& -1& -1& 0 \;& \vdots& 0 \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;& \vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \begin{matrix} \qquad\frac{L_2}{2}+L_4\rightarrow L_4\\ \qquad\frac{L_2}{-2}+L_5\rightarrow L_5 \end{matrix} \end{gather} \]
  • \( a_{41}=\frac{0}{2}+0=0 \)
  • \( a_{42}=\frac{2}{2}+(-1)=1-1=0 \)
    \( a_{42}=\frac{2}{2}+(-1)=1-1=0 \)
  • \( a_{43}=\frac{-2}{2}+\left(-{\frac{7}{5}}\right)=-1-\frac{7}{5} \) , multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo por 5, \( a_{43}=-1\times\frac{5}{5}-\frac{7}{5}=-\frac{5}{5}-\frac{7}{5}=-\frac{12}{5} \)
    \( a_{43}=\frac{-2}{2}+\left(-{\frac{7}{5}}\right)=-1-\frac{7}{5} \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{43}=-1\times\frac{5}{5}-\frac{7}{5}=\frac{-{5}}{5}-\frac{7}{5}=\frac{-{12}}{5} \)
  • \( a_{44}=\frac{0}{2}+0=0 \)
  • \( a_{45}=\frac{2}{2}+0=1 \)
  • \( a_{46}=\frac{3}{2}+0=\frac{3}{2} \)
  • \( v_4=\frac{5}{2}+(-1)=\frac{5}{2}-1 \) , multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 2, \( v_4=\frac{5}{2}-1\times\frac{2}{2}=\frac{5}{2}-\frac{2}{2}=\frac{3}{2} \)
    \( v_4=\frac{5}{2}+(-1)=\frac{5}{2}-1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 2, \( v_4=\frac{5}{2}-1\times\frac{2}{2}=\frac{5}{2}-\frac{2}{2}=\frac{3}{2} \)
  • \( a_{51}=\frac{0}{-2}+0=0 \)
  • \( a_{52}=\frac{2}{-2}+1=-1+1=0 \)
    \( a_{52}=\frac{2}{-2}+1=-1+1=0 \)
  • \( a_{53}=\frac{-2}{-2}+0=1 \)
  • \( a_{54}=\frac{0}{-2}+(-1)=-1 \)
  • \( a_{55}=\frac{2}{-2}+(-1)=-1-1=-2 \)
    \( a_{55}=\frac{2}{-2}+(-1)=-1-1=-2 \)
  • \( a_{56}=\frac{3}{-2}+0=-\frac{3}{2} \)
  • \( v_5=\frac{5}{-2}+0=-\frac{5}{2} \)
\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;0& 0& -{\frac{12}{5}}& 0& 1& \frac{3}{2} \;& \vdots& \frac{3}{2} \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;& \vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;& \vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \end{gather} \]

Para que o elemento \( a_{53}=1 \) seja “zerado” vamos trocar de posição as linhas 3 e 5 \( \left(\;L_3\leftrightarrow L_5\;\right) \)

\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;0& 0& -{\frac{12}{5}}& 0& 1& \frac{3}{2} \;& \vdots& \frac{3}{2} \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;& \vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;& \vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \qquad L_3\leftrightarrow L_5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;& \vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& -{\frac{12}{5}}& 0& 1& \frac{3}{2} \;& \vdots& \frac{3}{2} \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;& \vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \end{gather} \]

Para que o elemento \( a_{43}=-{\frac{12}{5}} \) seja “zerado” vamos multiplicar a 3.ª linha por \( \frac{12}{5} \) e somar com a 4.ª linha e substituir na 4.ª linha \( \left(\;\frac{12}{5}L_3+L_4\rightarrow L_4\;\right) \)

\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;& \vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& -{\frac{12}{5}}& 0& 1& \frac{3}{2} \;& \vdots& \frac{3}{2} \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;& \vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \qquad\frac{12}{5}L_3+L_4\rightarrow L_4 \end{gather} \]
  • \( a_{41}=\frac{12}{5}\times 0+0=0 \)
  • \( a_{42}=\frac{12}{5}\times 0+0=0 \)
  • \( a_{43}=\frac{12}{5}\times 1+(-{\frac{12}{5}})=\frac{12}{5}-{\frac{12}{5}}=0 \)
    \( a_{43}=\frac{12}{5}\times 1+(-{\frac{12}{5}})=\frac{12}{5}-{\frac{12}{5}}=0 \)
  • \( a_{44}=\frac{12}{5}\times(-1)+0=-{\frac{12}{5}} \)
    \( a_{44}=\frac{12}{5}\times(-1)+0=-{\frac{12}{5}} \)
  • \( a_{45}=\frac{12}{5}\times(-2)+1=-{\frac{24}{5}}+1 \) , multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{45}=-{\frac{24}{5}}+1\times\frac{5}{5}=-{\frac{24}{5}}+\frac{5}{5}=-{\frac{19}{5}} \)
    \( a_{45}=\frac{12}{5}\times(-2)+1=-{\frac{24}{5}}+1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{45}=-{\frac{24}{5}}+1\times\frac{5}{5}=-{\frac{24}{5}}+\frac{5}{5}=-{\frac{19}{5}} \)
  • \( a_{46}=\frac{\cancelto{6}{12}}{5}\times\left(\;-\frac{3}{\cancelto{1}{2}}\;\right)+\frac{3}{2}=-{\frac{6}{5}}\times\frac{3}{1}+\frac{3}{2}=-{\frac{18}{5}+\frac{3}{2}} \) , o mínimo múltiplo comum entre 5 e 2 é 10, \( a_{46}=\frac{-18\times 2+5\times 3}{10}=\frac{-36+15}{10}=-{\frac{21}{10}} \)
    \( a_{46}=\frac{\cancelto{6}{12}}{5}\times\left(\;-\frac{3}{\cancelto{1}{2}}\;\right)+\frac{3}{2}=-{\frac{6}{5}}\times\frac{3}{1}+\frac{3}{2}=-{\frac{18}{5}+\frac{3}{2}} \), o mínimo múltiplo comum entre 5 e 2 é 10, \( a_{46}=\frac{-18\times 2+5\times 3}{10}=\frac{-36+15}{10}=-{\frac{21}{10}} \)
  • \( v_5=\frac{\cancelto{6}{12}}{\cancel{5}}\times\left(\;-{\frac{\cancel{5}}{\cancelto{1}{2}}}\;\right)+\frac{3}{2}=-{\frac{6}{1}}+\frac{3}{2} \) , multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo por 2, \( v_5=-{\frac{6}{1}}\times\frac{2}{2}+\frac{3}{2}=-{\frac{12}{2}}+\frac{3}{2}=-{\frac{9}{2}} \)
    \( v_5=\frac{\cancelto{6}{12}}{\cancel{5}}\times\left(\;-{\frac{\cancel{5}}{\cancelto{1}{2}}}\;\right)+\frac{3}{2}=-{\frac{6}{1}}+\frac{3}{2} \), multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo por 2, \( v_5=-{\frac{6}{1}}\times\frac{2}{2}+\frac{3}{2}=-{\frac{12}{2}}+\frac{3}{2}=-{\frac{9}{2}} \)
\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;&\vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& -{\frac{12}{5}}& -{\frac{19}{5}}& -{\frac{21}{10}} \;&\vdots& -{\frac{9}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;&\vdots& -1 \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;&\vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \end{gather} \]

Trocando de posição as linhas 4 e 5 \( \left(\;L_4\leftrightarrow L_5\;\right) \)

\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;&\vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& -{\frac{12}{5}}& -{\frac{19}{5}}& -{\frac{21}{10}} \;&\vdots& -{\frac{9}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;&\vdots& -1 \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;&\vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \qquad L_4\leftrightarrow L_5\\ \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;&\vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;&\vdots& -1 \;\\ \;0& 0& 0& -{\frac{12}{5}}& -{\frac{19}{5}}& -{\frac{21}{10}} \;&\vdots& -{\frac{9}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;&\vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \end{gather} \]

Para que o elemento \( a_{54}=-\frac{12}{5} \) seja “zerado” vamos multiplicar a 4.ª linha por \( \frac{12}{25} \) e somar com a 5.ª linha e substituir na 5.ª linha \( \left(\;\frac{12}{25}L_4+L_5\rightarrow L_5\;\right) \).
Para que o elemento a64=1 seja “zerado” vamos dividir a 4.ª linha por −5 e somar com a 6.ª linha e substituir na 6.ª linha \( \left(\;\frac{L_4}{-5}+L_6\rightarrow L_6\;\right) \)

\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;&\vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;&\vdots& -1 \;\\ \;0& 0& 0& -{\frac{12}{5}}& -{\frac{19}{5}}& -{\frac{21}{10}} \;&\vdots& -{\frac{9}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1 \;&\vdots& 0 \; \end{matrix} \right) \begin{matrix} \qquad\frac{12}{25}L_4+L_5\rightarrow L_5 \\ \qquad\frac{L_4}{-5}+L_6\rightarrow L_6 \end{matrix} \end{gather} \]
  • \( a_{51}=\frac{12}{25}\times 0+0=0 \)
  • \( a_{52}=\frac{12}{25}\times 0+0=0 \)
  • \( a_{53}=\frac{12}{25}\times 0+0=0 \)
  • \( a_{54}=\frac{12}{\cancelto{5}{25}}\times\cancelto{1}{5}+\left(\;-{\frac{12}{5}}\;\right)=\frac{12}{5}-\frac{12}{5}=0 \)
    \( a_{54}=\frac{12}{\cancelto{5}{25}}\times\cancelto{1}{5}+\left(\;-{\frac{12}{5}}\;\right)=\frac{12}{5}-\frac{12}{5}=0 \)
  • \( a_{55}=\frac{12}{25}\times(-2)+\left(\;-\frac{19}{5}\;\right)=-\frac{{24}}{25}-\frac{19}{5} \) , multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo por 5, \( a_{55}=-\frac{{24}}{25}-\frac{19}{5}\times\frac{5}{5}=-\frac{{24}}{25}-\frac{95}{25}=-\frac{119}{25} \)
    \( a_{55}=\frac{12}{25}\times(-2)+\left(\;-\frac{19}{5}\;\right)=-\frac{{24}}{25}-\frac{19}{5} \), multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo por 5, \( a_{55}=-\frac{{24}}{25}-\frac{19}{5}\times\frac{5}{5}=-\frac{{24}}{25}-\frac{95}{25}=-\frac{119}{25} \)
  • \( a_{56}=\frac{12}{25}\times 0+\left(\;-\frac{21}{10}\;\right)=0-\frac{21}{10}=-\frac{21}{10} \)
    \( a_{56}=\frac{12}{25}\times 0+\left(\;-\frac{21}{10}\;\right)=0-\frac{21}{10}=-\frac{21}{10} \)
  • \( v_5=\frac{12}{25}\times(-1)+\left(\;-\frac{9}{2}\;\right)=-\frac{12}{25}-\frac{9}{2} \), mmc(2,25)=50, \( v_5=\frac{-12\times 2-9\times 25}{50}=\frac{-24-225}{50}=-\frac{249}{50} \)
    \( v_5=\frac{12}{25}\times(-1)+\left(\;-\frac{9}{2}\;\right)=-\frac{12}{25}-\frac{9}{2} \), mmc(2,25)=50, \( v_5=\frac{-12\times 2-9\times 25}{50}=\frac{-24-225}{50}=-\frac{249}{50} \)
  • \( a_{61}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{62}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{63}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{64}=\frac{5}{-5}+1=-1+1=0 \)
    \( a_{64}=\frac{5}{-5}+1=-1+1=0 \)
  • \( a_{65}=\frac{-2}{-5}+1=\frac{2}{5}+1 \) , multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{65}=\frac{2}{5}+1\times\frac{5}{5}=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5} \)
    \( a_{65}=\frac{-2}{-5}+1=\frac{2}{5}+1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{65}=\frac{2}{5}+1\times\frac{5}{5}=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5} \)
  • \( a_{66}=\frac{0}{-5}+(-1)=-1 \)
  • \( v_6=\frac{-1}{-5}+0=\frac{1}{5} \)
\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;&\vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;&\vdots& -1 \;\\ \;0& 0& 0& 0& -{\frac{119}{25}}& -{\frac{21}{10}} \;&\vdots& -{\frac{249}{50}} \;\\ \;0& 0& 0& 0& \frac{7}{5}& -1 \;&\vdots& \frac{1}{5} \; \end{matrix} \right) \end{gather} \]

Para que o elemento \( a_{65}=\frac{7}{5} \) seja “zerado” vamos multiplicar a 5.ª linha por \( \frac{5}{17} \) e somar com a 6.ª linha e substituir na 6.ª linha \( \left(\;\frac{5}{17}.L_5+L_6\rightarrow L_6\;\right) \)

Observação:
- Por quê multiplicar por \( \frac{5}{17} \)?
- Queremos um número x, tal que multiplicado pelo elemento a55 e somado com o elemento a65 seja igual a zero.
\[ \begin{gather} x\times a_{55}+a_{65}=0 \\[5pt] x\times\left(\;-\frac{119}{25}\;\right)+\frac{7}{5}=0 \\[5pt] x\times\left(\;-\frac{119}{25}\;\right)=-\frac{7}{5} \\[5pt] x=\left(\;-\frac{\cancelto{1}{7}}{\cancelto{1}{5}}\;\right)\times\left(\;-\frac{\cancelto{5}{25}}{\cancelto{17}{119}}\;\right) \\[5pt] x=\frac{5}{17} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;&\vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;&\vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;&\vdots& -1 \;\\ \;0& 0& 0& 0& -{\frac{119}{25}}& -{\frac{21}{10}} \;&\vdots& -{\frac{249}{50}} \;\\ \;0& 0& 0& 0& \frac{7}{5}& -1 \;&\vdots& \frac{1}{5} \; \end{matrix} \right) \qquad\frac{5}{17}L_5+L_6\rightarrow L_6 \end{gather} \]
  • \( a_{61}=\frac{5}{17}\times 0+0=0 \)
  • \( a_{62}=\frac{5}{17}\times 0+0=0 \)
  • \( a_{63}=\frac{5}{17}\times 0+0=0 \)
  • \( a_{64}=\frac{5}{17}\times 0+0=0 \)
  • \( a_{65}=\frac{\cancelto{1}{5}}{\cancelto{1}{17}}\times\left(\;-\frac{\cancelto{7}{119}}{\cancelto{5}{25}}\;\right)+\frac{7}{5}=-\frac{{7}}{5}+\frac{7}{5}=0 \)
    \( a_{65}=\frac{\cancelto{1}{5}}{\cancelto{1}{17}}\times\left(\;-\frac{\cancelto{7}{119}}{\cancelto{5}{25}}\;\right)+\frac{7}{5}=-\frac{{7}}{5}+\frac{7}{5}=0 \)
  • \( a_{66}=\frac{\cancelto{1}{5}}{17}\times\left(\;-\frac{21}{\cancelto{2}{10}}\;\right)+(-1)=-\frac{21}{34}-1 \),   multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 34, \( a_{66}=-\frac{21}{34}-1\times\frac{34}{34}=-\frac{21}{34}-\frac{34}{34}=-\frac{55}{34} \)
    \( a_{66}=\frac{\cancelto{1}{5}}{17}\times\left(\;-\frac{21}{\cancelto{2}{10}}\;\right)+(-1)=-\frac{21}{34}-1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 34, \( a_{66}=-\frac{21}{34}-1\times\frac{34}{34}=-\frac{21}{34}-\frac{34}{34}=-\frac{55}{34} \)
  • \( v_6=\frac{\cancelto{1}{5}}{17}\times\left(\;-\frac{249}{\cancelto{10}{50}}\;\right)+\frac{1}{5}=-\frac{249}{170}+\frac{1}{5} \) , mmc(5, 170)=170,  \( v_6=\frac{-249\times 1+1\times 34}{170}=-\frac{215}{170} \), dividindo o numerador e o denominador por 5, \( v_6=-\frac{215:5}{170:5}=-\frac{43}{34} \)
    \( v_6=\frac{\cancelto{1}{5}}{17}\times\left(\;-\frac{249}{\cancelto{10}{50}}\;\right)+\frac{1}{5}=-\frac{249}{170}+\frac{1}{5} \), mmc(5, 170)=170,
    \( v_6=\frac{-249\times 1+1\times 34}{170}=-\frac{215}{170} \)
    , dividindo o numerador e o denominador por 5,
    \( v_6=-\frac{215:5}{170:5}=-\frac{43}{34} \)
\[ \begin{gather} \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3 \;& \vdots& 5 \;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}} \;& \vdots& -{\frac{5}{2}} \;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0 \;& \vdots& -1 \;\\ \;0& 0& 0& 0& -{\frac{119}{25}}& -{\frac{21}{10}} \;& \vdots& -{\frac{249}{50}} \;\\ \;0& 0& 0& 0& 0& -{\frac{55}{34}} \;& \vdots& -\frac{43}{34} \; \end{matrix} \right) \end{gather} \]

esta matriz representa o sistema

\[ \left\{ \begin{alignat}{6} 5 i_1 &\; \;& + &\; 2 i_3 \;& &\; \;& &&\; \;& &\; & = & \qquad 5 \\ &\; 2 i_2 \;& - &\; 2 i_3 \;& &\; \;& + &&\; 2 i_5 \;& + &\; 3 i_6 & = & \qquad 5 \\ &\; \;& &\; 1 i_3 \;& - &\; 1 i_4 \;& - &&\; 2 i_5 \;& - &\; \frac{3}{2} i_6 & = & \;\;\; -\frac{5}{2} \\ &\; \;& &\; \;& &\; 5 i_4 \;& - &&\; 2 i_5 \;& &\; & = & \quad\; -1 \\ &\; \;& &\; \;& &\; \;& - &&\; \frac{119}{25} i_5 \;& - &\; \frac{21}{10} i_6 & = & -\frac{249}{50} \\ &\; \;& &\; \;& &\; \;& &&\; \;& - &\; \frac{55}{34} i_6 & = & \; -\frac{43}{34} \end{alignat} \right. \]

este sistema é equivalente ao sistema (VII), de imediato da sexta equação

\[ \begin{gather} \frac{-{55}}{\cancel{34}}i_6=\frac{-{43}}{\cancel{34}} \\[5pt] i_6=\frac{43}{55} \\[5pt] i_6=0,78\ \mathrm A \end{gather} \]

Substituindo o valor da corrente i6 na quinta equação

Observação: ao invés de substituirmos a corrente no valor decimal vamos substituir o valor dado pela fração para diminuir erros de arredondamento.
\[ \begin{gather} -{\frac{119}{25}}i_5-\frac{21}{10}\times\frac{43}{55}=-\frac{249}{50} \\[5pt] -{\frac{119}{25}}i_5=-\frac{249}{50}+\frac{903}{550} \end{gather} \]

dividindo por 25 o denominador de ambos os lados da igualdade

\[ \begin{gather} -{\frac{119}{25:25}}i_5=-\frac{249}{50:25}+\frac{903}{550:25} \\[5pt] -119i_5=-\frac{249}{2}+\frac{903}{22} \end{gather} \]

mmc (1, 2, 22)=22

\[ \begin{gather} -\frac{119\times 22}{22}i_5=\frac{-249\times 11+903\times 1}{22} \\[5pt] -\frac{2618}{\cancel{22}}i_5=\frac{-2739+903}{\cancel{22}} \\[5pt] -2618i_5=-2739+903 \\[5pt] -2618i_5=-1836 \\[5pt] 2618i_5=1836 \\[5pt] i_5=\frac{1836}{2618} \end{gather} \]

dividindo o numerador e o denominador por 34

\[ \begin{gather} i_5=\frac{1836:34}{2618:34} \\[5pt] i_5=\frac{54}{77} \\[5pt] i_5=0,70\;\mathrm A \end{gather} \]

Substituindo o valor da corrente i5 na quarta equação

\[ \begin{gather} 5i_4-2\times\frac{54}{77}=-1 \\[5pt] 5i_4-\frac{108}{77}=-1 \\[5pt] 5i_4=-1+\frac{108}{77} \end{gather} \]

multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo do lado direito da igualdade por 77

\[ \begin{gather} 5i_4=-1\times\frac{77}{77}+\frac{108}{77} \\[5pt] 5i_4=-\frac{77}{77}+\frac{108}{77} \\[5pt] 5i_4=\frac{31}{77} \\[5pt] i_4=\frac{31}{5\times 77} \\[5pt] i_4=\frac{31}{385} \\[5pt] i_4=0,08\;\mathrm A \end{gather} \]

Substituindo os valores das correntes i4, i5 e i6 na terceira equação

\[ \begin{gather} i_3-\frac{31}{385}-2\times\frac{54}{77}-\frac{3}{2}\times\frac{43}{55}=-\frac{5}{2} \\[5pt] i_3-\frac{31}{385}-\frac{108}{77}-\frac{129}{110}=-\frac{5}{2} \\[5pt] i_3=-\frac{5}{2}+\frac{31}{385}+\frac{108}{77}+\frac{129}{110} \end{gather} \]

mmc(2, 77, 110, 385)=770

\[ \begin{gather} i_3=\frac{-5\times 385+31\times 2+108\times 10+129\times 7}{770} \\[5pt] i_3=\frac{-1925+62+1080+903}{770} \\[5pt] i_3=\frac{12\cancel{0}}{77\cancel{0}} \\[5pt] i_3=\frac{12}{77} \\[5pt] i_3=0,16\;\mathrm A \end{gather} \]

Substituindo os valores das correntes i3, i5 e i6 na segunda equação

\[ \begin{gather} 2i_2-2\times\frac{12}{77}+2\times\frac{54}{77}+3\times\frac{43}{55}=5 \\[5pt] 2i_2-\frac{24}{77}+\frac{108}{77}+\frac{129}{55}=5 \\[5pt] 2i_2+\frac{84}{77}+\frac{129}{55}=5 \\[5pt] 2i_2=5-\frac{84}{77}-\frac{129}{55} \end{gather} \]

mmc(1, 55, 77)=385

\[ \begin{gather} \frac{2\times 385}{385}i_2=\frac{5\times 385-84\times 5-129\times 7}{385} \\[5pt] \frac{770}{385}i_2=\frac{1925-420-903}{385} \\[5pt] \frac{770}{\cancel{385}}i_2=\frac{602}{\cancel{385}} \\[5pt] 770i_2=602 \\[5pt] i_2=\frac{602}{770} \end{gather} \]

dividindo o numerador e o denominador por 14

\[ \begin{gather} i_2=\frac{602:14}{770:14} \\[5pt] i_2=\frac{43}{55} \\[5pt] i_2=0,78\;\mathrm A \end{gather} \]

Substituindo o valor da corrente i3 na primeira equação

\[ \begin{gather} 5i_1+2\times\frac{12}{77}=5 \\[5pt] 5i_1=5-\frac{24}{77} \end{gather} \]

multiplicando o numerador e o denominador por 77 do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} 5i_1=5\times\frac{77}{77}-\frac{24}{77} \\[5pt] 5i_1=\frac{385}{77}-\frac{24}{77} \\[5pt] 5i_1=\frac{361}{77} \\[5pt] i_1=\frac{361}{5\times 77} \\[5pt] i_1=\frac{361}{385} \\[5pt] i_1=0,94\;\mathrm A \end{gather} \]

Como o valor das correntes são todos positivos os sentidos escolhidos na Figura 1 estão corretos. Os valores das correntes são i1=0,94 A, i2=0,78 A, i3=0,16 A, i4=0,08 A, i5=0,70 A, e i6=0,78 A, e seus sentidos são os mostrados na Figura 1.

Observação: as transformações feitas aqui na matriz não são únicas, pode-se escolher outras operações que levem ao mesmo resultado, e também podem não ser as mais eficientes outras operações podem levar a uma sequência de cálculos mais simples.
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