Exercício Resolvido de Leis de Kirchhoff
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No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.



Dados do problema:

Resistores:
  • R1 = 2 Ω;
  • R2 = 3 Ω;
  • R3 = 2 Ω;
  • R4 = 2 Ω;
  • R5 = 3 Ω;
  • R6 = 2 Ω;
  • R7 = 3 Ω;
  • R8 = 2 Ω;
f.e.m. das pilhas:
  • E1 = 5 V;
  • E2 = 5 V;
  • E3 = 4 V;
Solução

Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo GHAB temos a corrente i1 no sentido horário, no ramo BC a corrente i3 indo de B para C, no ramo CDEF a corrente i4 no sentido horário, no ramo CF a corrente i5 indo de C para F, no ramo FG a corrente i6 indo de F para G e no ramo BG a corrente i3 indo de B para G. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha α (GHABG), malha β (BCFGB) e malha γ (CDEFC) todas percorridas no sentido horário (Figura 1).

Figura 1
  • Aplicando a Lei dos Nós
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} i_{n}=0} \end{gather} \]
A corrente i1 chega ao nó B e as correntes i2 e i3 saem dele
\[ \begin{gather} i_{1}=i_{2}+i_{3}\\[5pt] i_{1}-i_{2}-i_{3}=0 \tag{I} \end{gather} \]
A corrente i2 chega ao nó C e as correntes i4 e i5 saem dele
\[ \begin{gather} i_{2}=i_{4}+i_{5}\\[5pt] i_{2}-i_{4}-i_{5}=0 \tag{II} \end{gather} \]
As correntes i4 e i5 chegam ao nó F e a corrente i6 sai dele
\[ \begin{gather} i_{6}=i_{4}+i_{5} \\[5pt] i_{4}+i_{5}-i_{6}=0 \tag{III} \end{gather} \]
  • Aplicando a Lei das Malhas
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} V_{n}=0} \end{gather} \]
Para a malha α a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo as malhas β e γ (Figura 2),

Figura 2
\[ \begin{gather} R_{2}i_{1}+R_{3}i_{3}+R_{1}i_{1}-E_{1}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores do problema fica
\[ \begin{gather} 3i_{1}+2i_{3}+2i_{1}-5=0\\[5pt] 5i_{1}+2i_{3}=5 \tag{IV} \end{gather} \]
Para a malha β a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e γ (Figura 3)

Figura 3
\[ \begin{gather} R_{4}i_{2}-E_{2}+R_{6}i_{5}+R_{5}i_{6}-R_{3}i_{3}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores
\[ \begin{gather} 2i_{2}-5+2i_{5}+3i_{6}-2i_{3}=0\\[5pt] 2i_{2}-2i_{3}+2i_{5}+3i_{6}=5 \tag{V} \end{gather} \]
Para a malha γ a partir do ponto C no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e β (Figura 4),

Figura 4
\[ \begin{gather} R_{8}i_{4}-E_{3}+R_{7}i_{4}-R_{6}i_{5}+E_{2}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores
\[ \begin{gather} 2i_{4}-4+3i_{4}-2i_{5}+5=0\\[5pt] 5i_{4}-2i_{5}+1=0 \\[5pt] 5i_{4}-2i_{5}=-1 \tag{VI} \end{gather} \]
Com as equações (I), (II), (III), (IV), (V) e (VI) temos um sistema de seis equações a seis incógnitas ( i1, i2, i3, i4, i5 e i6 )
\[ \left\{ \begin{array}{l} \;5i_{1}+2i_{3}=5\\ \;2i_{2}-2i_{3}+2i_{5}+3i_{6}=5\\ \;5i_{4}-2i_{5}=-1\\ \;i_{1}-i_{2}-i_{3}=0\\ \;i_{2}-i_{4}-i_{5}=0\\ \;i_{4}+i_{5}-i_{6}=0 \end{array} \right. \tag{VII} \]
escrevendo o sistema como
\[ \left\{ \begin{array}{l} \;5i_{1}+0i_{2}+2i_{3}+0i_{4}+0i_{5}+0i_{6}=5\\ \;0i_{1}+2i_{2}-2i_{3}+0i_{4}+2i_{5}+3i_{6}=5\\ \;0i_{1}+0i_{2}+0i_{3}+5i_{4}-2i_{5}+0i_{6}=-1\\ \;1i_{1}-1i_{2}-1i_{3}+0i_{4}+0i_{5}+0i_{6}=0\\ \;0i_{1}+1i_{2}+0i_{3}-1i_{4}-1i_{5}+0i_{6}=0\\ \;0i_{1}+0i_{2}+0i_{3}+1i_{4}+1i_{5}-1i_{6}=0 \end{array} \right. \]
este sistema pode ser representado pela matriz a seguir, onde os valores a esquerda da linha pontilhada representam a matriz dos coeficientes das correntes e os valores a direita representam o vetor dos termos independentes, chamada de matriz aumentada.
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;1& -1& -1& 0& 0& 0\;& \vdots& 0\;\\ \;0& 1& 0& -1& -1& 0\;& \vdots& 0\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;& \vdots& 0\; \end{matrix} \right) \]
Para resolver o sistema usamos o Método da Eliminação de Gauss.

Observação: O Método da Eliminação de Gauss para resolver este sistema consiste em escalonar esta matriz de modo a obter uma matriz triangular superior. Para fazer o escalonamento podemos realizar operações sobre as linhas da matriz como multiplicar ou dividir uma linha inteira (no caso incluindo o vetor dos termos independentes) por um número, podemos somar ou subtrair uma linha de outra e podemos inverter duas linhas de posição. Uma matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos.

Para que o elemento a41=1 seja “zerado” vamos dividir a 1.ª linha por −5 e somar com a 4.ª linha e substituir na 4.ª linha \( \left(\;\frac{L_{1}}{-5}+L_{4}\;\rightarrow \;L_{4}\;\right) \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;1& -1& -1& 0& 0& 0\;& \vdots& 0\;\\ \;0& 1& 0& -1& -1& 0\;& \vdots& 0\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;& \vdots& 0\; \end{matrix} \right) \qquad\frac{L_{1}}{-5}+L_{4}\rightarrow L_{4} \]

  • \( a_{41}=\frac{5}{-5}+1=-1+1=0 \)
    \( a_{41}=\frac{5}{-5}+1=-1+1=0 \)
  • \( a_{42}=\frac{0}{-5}+(-1)=0-1=-1 \)
    \( a_{42}=\frac{0}{-5}+(-1)=0-1=-1 \)
  • \( a_{43}=\frac{2}{-5}+(-1)=-{\frac{2}{5}}-1 \) , multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{43}=-{\frac{2}{5}}-1.\frac{5}{5}=-{\frac{2}{5}}-\frac{5}{5}=-\frac{7}{5} \)
    \( a_{43}=\frac{2}{-5}+(-1)=-{\frac{2}{5}}-1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{43}=-{\frac{2}{5}}-1.\frac{5}{5}=-{\frac{2}{5}}-\frac{5}{5}=-\frac{7}{5} \)
  • \( a_{44}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{45}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{46}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( v_{4}=\frac{5}{-5}+0=-1 \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;0& -1& -{\frac{7}{5}}& 0& 0& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;0& 1& 0& -1& -1& 0\;& \vdots& 0\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;& \vdots& 0\; \end{matrix} \right) \]
Para que o elemento a42=−1 seja “zerado” vamos dividir a 2.ª linha por 2 e somar com a 4.ª linha e substituir na 4.ª linha \( \left(\;\frac{L_{2}}{2}+L_{4}\rightarrow L_{4}\;\right) \).
Para que o elemento a52=1 seja “zerado” vamos dividir a 2.ª linha por −2 e somar com a 5.ª linha e substituir na 5.ª linha \( \left(\;\frac{L_{2}}{-2}+L_{5}\rightarrow L_{5}\;\right) \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;0& -1& -{\frac{7}{5}}& 0& 0& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;0& 1& 0& -1& -1& 0\;& \vdots& 0\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;& \vdots& 0\; \end{matrix} \right) \begin{matrix} \qquad\frac{L_{2}}{2}+L_{4}\rightarrow L_{4}\\ \qquad\frac{L_{2}}{-2}+L_{5}\rightarrow L_{5} \end{matrix} \]

  • \( a_{41}=\frac{0}{2}+0=0 \)
  • \( a_{42}=\frac{2}{2}+(-1)=1-1=0 \)
    \( a_{42}=\frac{2}{2}+(-1)=1-1=0 \)
  • \( a_{43}=\frac{-2}{2}+\left(-{\frac{7}{5}}\right)=-1-\frac{7}{5} \) , multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo por 5, \( a_{43}=-1.\frac{5}{5}-\frac{7}{5}=-\frac{5}{5}-\frac{7}{5}=-\frac{12}{5} \)
    \( a_{43}=\frac{-2}{2}+\left(-{\frac{7}{5}}\right)=-1-\frac{7}{5} \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{43}=-1.\frac{5}{5}-\frac{7}{5}=\frac{-{5}}{5}-\frac{7}{5}=\frac{-{12}}{5} \)
  • \( a_{44}=\frac{0}{2}+0=0 \)
  • \( a_{45}=\frac{2}{2}+0=1 \)
  • \( a_{46}=\frac{3}{2}+0=\frac{3}{2} \)
  • \( v_{4}=\frac{5}{2}+(-1)=\frac{5}{2}-1 \) , multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 2, \( v_{4}=\frac{5}{2}-1.\frac{2}{2}=\frac{5}{2}-\frac{2}{2}=\frac{3}{2} \)
    \( v_{4}=\frac{5}{2}+(-1)=\frac{5}{2}-1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 2, \( v_{4}=\frac{5}{2}-1.\frac{2}{2}=\frac{5}{2}-\frac{2}{2}=\frac{3}{2} \)

  • \( a_{51}=\frac{0}{-2}+0=0 \)
  • \( a_{52}=\frac{2}{-2}+1=-1+1=0 \)
    \( a_{52}=\frac{2}{-2}+1=-1+1=0 \)
  • \( a_{53}=\frac{-2}{-2}+0=1 \)
  • \( a_{54}=\frac{0}{-2}+(-1)=-1 \)
  • \( a_{55}=\frac{2}{-2}+(-1)=-1-1=-2 \)
    \( a_{55}=\frac{2}{-2}+(-1)=-1-1=-2 \)
  • \( a_{56}=\frac{3}{-2}+0=-\frac{3}{2} \)
  • \( v_{5}=\frac{5}{-2}+0=-\frac{5}{2} \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;0& 0& -{\frac{12}{5}}& 0& 1& \frac{3}{2}\;& \vdots& \frac{3}{2}\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;& \vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;& \vdots& 0\; \end{matrix} \right) \]
Para que o elemento \( a_{53}=1 \) seja “zerado” vamos trocar de posição as linhas 3 e 5 \( \left(\;L_{3}\leftrightarrow L_{5}\;\right) \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;0& 0& -{\frac{12}{5}}& 0& 1& \frac{3}{2}\;& \vdots& \frac{3}{2}\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;& \vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;& \vdots& 0\; \end{matrix} \right) \qquad L_{3}\leftrightarrow L_{5}\\ \]
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;& \vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& -{\frac{12}{5}}& 0& 1& \frac{3}{2}\;& \vdots& \frac{3}{2}\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;& \vdots& 0\; \end{matrix} \right) \]
Para que o elemento \( a_{43}=-{\frac{12}{5}} \) seja “zerado” vamos multiplicar a 3.ª linha por \( \frac{12}{5} \) e somar com a 4.ª linha e substituir na 4.ª linha \( \left(\;\frac{12}{5}L_{3}+L_{4}\rightarrow L_{4}\;\right) \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;& \vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& -{\frac{12}{5}}& 0& 1& \frac{3}{2}\;& \vdots& \frac{3}{2}\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;& \vdots& 0\; \end{matrix} \right) \qquad\frac{12}{5}L_{3}+L_{4}\rightarrow L_{4} \]

  • \( a_{41}=\frac{12}{5}.0+0=0 \)
  • \( a_{42}=\frac{12}{5}.0+0=0 \)
  • \( a_{43}=\frac{12}{5}.1+(-{\frac{12}{5}})=\frac{12}{5}-{\frac{12}{5}}=0 \)
    \( a_{43}=\frac{12}{5}.1+(-{\frac{12}{5}})=\frac{12}{5}-{\frac{12}{5}}=0 \)
  • \( a_{44}=\frac{12}{5}.(-1)+0=-{\frac{12}{5}} \)
    \( a_{44}=\frac{12}{5}.(-1)+0=-{\frac{12}{5}} \)
  • \( a_{45}=\frac{12}{5}.(-2)+1=-{\frac{24}{5}}+1 \) , multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{45}=-{\frac{24}{5}}+1.\frac{5}{5}=-{\frac{24}{5}}+\frac{5}{5}=-{\frac{19}{5}} \)
    \( a_{45}=\frac{12}{5}.(-2)+1=-{\frac{24}{5}}+1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{45}=-{\frac{24}{5}}+1.\frac{5}{5}=-{\frac{24}{5}}+\frac{5}{5}=-{\frac{19}{5}} \)
  • \( a_{46}=\frac{\cancelto{6}{12}}{5}.\left(\;-\frac{3}{\cancelto{1}{2}}\;\right)+\frac{3}{2}=-{\frac{6}{5}}.\frac{3}{1}+\frac{3}{2}=-{\frac{18}{5}+\frac{3}{2}} \) , o mínimo múltiplo comum entre 5 e 2 é 10, \( a_{46}=\frac{-18.2+5.3}{10}=\frac{-36+15}{10}=-{\frac{21}{10}} \)
    \( a_{46}=\frac{\cancelto{6}{12}}{5}.\left(\;-\frac{3}{\cancelto{1}{2}}\;\right)+\frac{3}{2}=-{\frac{6}{5}}.\frac{3}{1}+\frac{3}{2}=-{\frac{18}{5}+\frac{3}{2}} \), o mínimo múltiplo comum entre 5 e 2 é 10, \( a_{46}=\frac{-18.2+5.3}{10}=\frac{-36+15}{10}=-{\frac{21}{10}} \)
  • \( v_{5}=\frac{\cancelto{6}{12}}{\cancel{5}}.\left(\;-{\frac{\cancel{5}}{\cancelto{1}{2}}}\;\right)+\frac{3}{2}=-{\frac{6}{1}}+\frac{3}{2} \) , multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo por 2, \( v_{5}=-{\frac{6}{1}}.\frac{2}{2}+\frac{3}{2}=-{\frac{12}{2}}+\frac{3}{2}=-{\frac{9}{2}} \)
    \( v_{5}=\frac{\cancelto{6}{12}}{\cancel{5}}.\left(\;-{\frac{\cancel{5}}{\cancelto{1}{2}}}\;\right)+\frac{3}{2}=-{\frac{6}{1}}+\frac{3}{2} \), multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo por 2, \( v_{5}=-{\frac{6}{1}}.\frac{2}{2}+\frac{3}{2}=-{\frac{12}{2}}+\frac{3}{2}=-{\frac{9}{2}} \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;&\vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& -{\frac{12}{5}}& -{\frac{19}{5}}& -{\frac{21}{10}}\;&\vdots& -{\frac{9}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;&\vdots& -1\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;&\vdots& 0\; \end{matrix} \right) \]
Trocando de posição as linhas 4 e 5 \( \left(\;L_{4}\leftrightarrow L_{5}\;\right) \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;&\vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& -{\frac{12}{5}}& -{\frac{19}{5}}& -{\frac{21}{10}}\;&\vdots& -{\frac{9}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;&\vdots& -1\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;&\vdots& 0\; \end{matrix} \right) \qquad L_{4}\leftrightarrow L_{5}\\ \]
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;&\vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;&\vdots& -1\;\\ \;0& 0& 0& -{\frac{12}{5}}& -{\frac{19}{5}}& -{\frac{21}{10}}\;&\vdots& -{\frac{9}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;&\vdots& 0\; \end{matrix} \right) \]
Para que o elemento \( a_{54}=-\frac{12}{5} \) seja “zerado” vamos multiplicar a 4.ª linha por \( \frac{12}{25} \) e somar com a 5.ª linha e substituir na 5.ª linha \( \left(\;\frac{12}{25}L_{4}+L_{5}\rightarrow L_{5}\;\right) \).
Para que o elemento a64=1 seja “zerado” vamos dividir a 4.ª linha por −5 e somar com a 6.ª linha e substituir na 6.ª linha \( \left(\;\frac{L_{4}}{-5}+L_{6}\rightarrow L_{6}\;\right) \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;&\vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;&\vdots& -1\;\\ \;0& 0& 0& -{\frac{12}{5}}& -{\frac{19}{5}}& -{\frac{21}{10}}\;&\vdots& -{\frac{9}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 1& 1& -1\;&\vdots& 0\; \end{matrix} \right) \begin{matrix} \qquad\frac{12}{25}L_{4}+L_{5}\rightarrow L_{5}\\ \qquad\frac{L_{4}}{-5}+L_{6}\rightarrow L_{6} \end{matrix} \]

  • \( a_{51}=\frac{12}{25}.0+0=0 \)
  • \( a_{52}=\frac{12}{25}.0+0=0 \)
  • \( a_{53}=\frac{12}{25}.0+0=0 \)
  • \( a_{54}=\frac{12}{\cancelto{5}{25}}.\cancelto{1}{5}+\left(\;-{\frac{12}{5}}\;\right)=\frac{12}{5}-\frac{12}{5}=0 \)
    \( a_{54}=\frac{12}{\cancelto{5}{25}}.\cancelto{1}{5}+\left(\;-{\frac{12}{5}}\;\right)=\frac{12}{5}-\frac{12}{5}=0 \)
  • \( a_{55}=\frac{12}{25}.(-2)+\left(\;-\frac{19}{5}\;\right)=-\frac{{24}}{25}-\frac{19}{5} \) , multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo por 5, \( a_{55}=-\frac{{24}}{25}-\frac{19}{5}.\frac{5}{5}=-\frac{{24}}{25}-\frac{95}{25}=-\frac{119}{25} \)
    \( a_{55}=\frac{12}{25}.(-2)+\left(\;-\frac{19}{5}\;\right)=-\frac{{24}}{25}-\frac{19}{5} \), multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo por 5, \( a_{55}=-\frac{{24}}{25}-\frac{19}{5}.\frac{5}{5}=-\frac{{24}}{25}-\frac{95}{25}=-\frac{119}{25} \)
  • \( a_{56}=\frac{12}{25}.0+\left(\;-\frac{21}{10}\;\right)=0-\frac{21}{10}=-\frac{21}{10} \)
    \( a_{56}=\frac{12}{25}.0+\left(\;-\frac{21}{10}\;\right)=0-\frac{21}{10}=-\frac{21}{10} \)
  • \( v_{5}=\frac{12}{25}.(-1)+\left(\;-\frac{9}{2}\;\right)=-\frac{12}{25}-\frac{9}{2} \), mmc(2, 25)=50, \( v_{5}=\frac{-12.2-9.25}{50}=\frac{-24-225}{50}=-\frac{249}{50} \)
    \( v_{5}=\frac{12}{25}.(-1)+\left(\;-\frac{9}{2}\;\right)=-\frac{12}{25}-\frac{9}{2} \), mmc(2, 25)=50, \( v_{5}=\frac{-12.2-9.25}{50}=\frac{-24-225}{50}=-\frac{249}{50} \)

  • \( a_{61}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{62}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{63}=\frac{0}{-5}+0=0 \)
  • \( a_{64}=\frac{5}{-5}+1=-1+1=0 \)
    \( a_{64}=\frac{5}{-5}+1=-1+1=0 \)
  • \( a_{65}=\frac{-2}{-5}+1=\frac{2}{5}+1 \) , multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{65}=\frac{2}{5}+1.\frac{5}{5}=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5} \)
    \( a_{65}=\frac{-2}{-5}+1=\frac{2}{5}+1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 5, \( a_{65}=\frac{2}{5}+1.\frac{5}{5}=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5} \)
  • \( a_{66}=\frac{0}{-5}+(-1)=-1 \)
  • \( v_{6}=\frac{-1}{-5}+0=\frac{1}{5} \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;&\vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;&\vdots& -1\;\\ \;0& 0& 0& 0& -{\frac{119}{25}}& -{\frac{21}{10}}\;&\vdots& -{\frac{249}{50}}\;\\ \;0& 0& 0& 0& \frac{7}{5}& -1\;&\vdots& \frac{1}{5}\; \end{matrix} \right) \]
Para que o elemento \( a_{65}=\frac{7}{5} \) seja “zerado” vamos multiplicar a 5.ª linha por \( \frac{5}{17} \) e somar com a 6.ª linha e substituir na 6.ª linha \( \left(\;\frac{5}{17}.L_{5}+L_{6}\rightarrow L_{6}\;\right) \)

Observação:
- Por quê multiplicar por \( \frac{5}{17} \)?
- Queremos um número x, tal que multiplicado pelo elemento a55 e somado com o elemento a65 seja igual a zero.
\[ \begin{gather} x.a_{55}+a_{65}=0\\[5pt] x.\left(\;-\frac{119}{25}\;\right)+\frac{7}{5}=0\\[5pt] x.\left(\;-\frac{119}{25}\;\right)=-\frac{7}{5}\\[5pt] x=\left(\;-\frac{\cancelto{1}{7}}{\cancelto{1}{5}}\;\right).\left(\;-\frac{\cancelto{5}{25}}{\cancelto{17}{119}}\;\right)\\[5pt] x=\frac{5}{17} \end{gather} \]

\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;&\vdots& 5\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;&\vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;&\vdots& -1\;\\ \;0& 0& 0& 0& -{\frac{119}{25}}& -{\frac{21}{10}}\;&\vdots& -{\frac{249}{50}}\;\\ \;0& 0& 0& 0& \frac{7}{5}& -1\;&\vdots& \frac{1}{5}\; \end{matrix} \right) \qquad\frac{5}{17}L_{5}+L_{6}\rightarrow L_{6} \]

  • \( a_{61}=\frac{5}{17}.0+0=0 \)
  • \( a_{62}=\frac{5}{17}.0+0=0 \)
  • \( a_{63}=\frac{5}{17}.0+0=0 \)
  • \( a_{64}=\frac{5}{17}.0+0=0 \)
  • \( a_{65}=\frac{\cancelto{1}{5}}{\cancelto{1}{17}}.\left(\;-\frac{\cancelto{7}{119}}{\cancelto{5}{25}}\;\right)+\frac{7}{5}=-\frac{{7}}{5}+\frac{7}{5}=0 \)
    \( a_{65}=\frac{\cancelto{1}{5}}{\cancelto{1}{17}}.\left(\;-\frac{\cancelto{7}{119}}{\cancelto{5}{25}}\;\right)+\frac{7}{5}=-\frac{{7}}{5}+\frac{7}{5}=0 \)
  • \( a_{66}=\frac{\cancelto{1}{5}}{17}.\left(\;-\frac{21}{\cancelto{2}{10}}\;\right)+(-1)=-\frac{21}{34}-1 \),   multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 34, \( a_{66}=-\frac{21}{34}-1.\frac{34}{34}=-\frac{21}{34}-\frac{34}{34}=-\frac{55}{34} \)
    \( a_{66}=\frac{\cancelto{1}{5}}{17}.\left(\;-\frac{21}{\cancelto{2}{10}}\;\right)+(-1)=-\frac{21}{34}-1 \), multiplicando o numerador e o denominador do último termo por 34, \( a_{66}=-\frac{21}{34}-1.\frac{34}{34}=-\frac{21}{34}-\frac{34}{34}=-\frac{55}{34} \)
  • \( v_{6}=\frac{\cancelto{1}{5}}{17}.\left(\;-\frac{249}{\cancelto{10}{50}}\;\right)+\frac{1}{5}=-\frac{249}{170}+\frac{1}{5} \) , mmc(5, 170)=170,  \( v_{6}=\frac{-249.1+1.34}{170}=-\frac{215}{170} \), dividindo o numerador e o denominador por 5, \( v_{6}=-\frac{215:5}{170:5}=-\frac{43}{34} \)
    \( v_{6}=\frac{\cancelto{1}{5}}{17}.\left(\;-\frac{249}{\cancelto{10}{50}}\;\right)+\frac{1}{5}=-\frac{249}{170}+\frac{1}{5} \), mmc(5, 170)=170,
    \( v_{6}=\frac{-249.1+1.34}{170}=-\frac{215}{170} \)
    , dividindo o numerador e o denominador por 5,
    \( v_{6}=-\frac{215:5}{170:5}=-\frac{43}{34} \)
\[ \left( \begin{matrix} \;5& 0& 2& 0& 0& 0\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 2& -2& 0& 2& 3\;& \vdots& 5\;\\ \;0& 0& 1& -1& -2& -{\frac{3}{2}}\;& \vdots& -{\frac{5}{2}}\;\\ \;0& 0& 0& 5& -2& 0\;& \vdots& -1\;\\ \;0& 0& 0& 0& -{\frac{119}{25}}& -{\frac{21}{10}}\;& \vdots& -{\frac{249}{50}}\;\\ \;0& 0& 0& 0& 0& -{\frac{55}{34}}\;& \vdots& -\frac{43}{34}\; \end{matrix} \right) \]
esta matriz representa o sistema
\[ \left\{ \begin{alignat}{6} 5 i_{1} &\; \;& + &\; 2 i_{3} \;& &\; \;& &&\; \;& &\; & = & \qquad 5\\ &\; 2 i_{2} \;& - &\; 2 i_{3} \;& &\; \;& + &&\; 2 i_{5} \;& + &\; 3 i_{6} & = & \qquad 5\\ &\; \;& &\; 1 i_{3} \;& - &\; 1 i_{4} \;& - &&\; 2 i_{5} \;& - &\; \frac{3}{2} i_{6} & = & \;\;\; -\frac{5}{2}\\ &\; \;& &\; \;& &\; 5 i_{4} \;& - &&\; 2 i_{5} \;& &\; & = & \quad\; -1\\ &\; \;& &\; \;& &\; \;& - &&\; \frac{119}{25} i_{5} \;& - &\; \frac{21}{10} i_{6} & = & -\frac{249}{50}\\ &\; \;& &\; \;& &\; \;& &&\; \;& - &\; \frac{55}{34} i_{6} & = & \; -\frac{43}{34} \end{alignat} \right. \]
este sistema é equivalente ao sistema (VII), de imediato da sexta equação
\[ \begin{gather} \frac{-{55}}{\cancel{34}}i_{6}=\frac{-{43}}{\cancel{34}}\\[5pt] i_{6}=\frac{43}{55}\\[5pt] i_{6}=0,78\ \text{A} \end{gather} \]
Substituindo o valor da corrente i6 na quinta equação

Observação: ao invés de substituirmos a corrente no valor decimal vamos substituir o valor dado pela fração para diminuir erros de arredondamento.

\[ \begin{gather} -{\frac{119}{25}}i_{5}-\frac{21}{10}.\frac{43}{55}=-\frac{249}{50}\\[5pt] -{\frac{119}{25}}i_{5}=-\frac{249}{50}+\frac{903}{550} \end{gather} \]
dividindo por 25 o denominador de ambos os lados da igualdade
\[ \begin{gather} -{\frac{119}{25:25}}i_{5}=-\frac{249}{50:25}+\frac{903}{550:25}\\[5pt] -119i_{5}=-\frac{249}{2}+\frac{903}{22} \end{gather} \]
mmc (1, 2, 22)=22
\[ \begin{gather} -\frac{119.22}{22}i_{5}=\frac{-249.11+903.1}{22}\\[5pt] -\frac{2618}{\cancel{22}}i_{5}=\frac{-2739+903}{\cancel{22}}\\[5pt] -2618i_{5}=-2739+903\\[5pt] -2618i_{5}=-1836\\[5pt] 2618i_{5}=1836\\[5pt] i_{5}=\frac{1836}{2618} \end{gather} \]
dividindo o numerador e o denominador por 34
\[ \begin{gather} i_{5}=\frac{1836:34}{2618:34}\\[5pt] i_{5}=\frac{54}{77}\\[5pt] i_{5}=0,70\ \text{A} \end{gather} \]
Substituindo o valor da corrente i5 na quarta equação
\[ \begin{gather} 5i_{4}-2.\frac{54}{77}=-1\\[5pt] 5i_{4}-\frac{108}{77}=-1\\[5pt] 5i_{4}=-1+\frac{108}{77} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo do lado direito da igualdade por 77
\[ \begin{gather} 5i_{4}=-1.\frac{77}{77}+\frac{108}{77}\\[5pt] 5i_{4}=-\frac{77}{77}+\frac{108}{77}\\[5pt] 5i_{4}=\frac{31}{77}\\[5pt] i_{4}=\frac{31}{5.77}\\[5pt] i_{4}=\frac{31}{385}\\[5pt] i_{4}=0,08\ \text{A} \end{gather} \]
Substituindo os valores das correntes i4, i5 e i6 na terceira equação
\[ \begin{gather} i_{3}-\frac{31}{385}-2.\frac{54}{77}-\frac{3}{2}.\frac{43}{55}=-\frac{5}{2}\\[5pt] i_{3}-\frac{31}{385}-\frac{108}{77}-\frac{129}{110}=-\frac{5}{2}\\[5pt] i_{3}=-\frac{5}{2}+\frac{31}{385}+\frac{108}{77}+\frac{129}{110} \end{gather} \]
mmc(2, 77, 110, 385)=770
\[ \begin{gather} i_{3}=\frac{-5.385+31.2+108.10+129.7}{770}\\[5pt] i_{3}=\frac{-1925+62+1080+903}{770}\\[5pt] i_{3}=\frac{12\cancel{0}}{77\cancel{0}}\\[5pt] i_{3}=\frac{12}{77}\\[5pt] i_{3}=0,16\ \text{A} \end{gather} \]
Substituindo os valores das correntes i3, i5 e i6 na segunda equação
\[ \begin{gather} 2i_{2}-2.\frac{12}{77}+2.\frac{54}{77}+3.\frac{43}{55}=5\\[5pt] 2i_{2}-\frac{24}{77}+\frac{108}{77}+\frac{129}{55}=5\\[5pt] 2i_{2}+\frac{84}{77}+\frac{129}{55}=5\\[5pt] 2i_{2}=5-\frac{84}{77}-\frac{129}{55} \end{gather} \]
mmc(1, 55, 77)=385
\[ \begin{gather} \frac{2.385}{385}i_{2}=\frac{5.385-84.5-129.7}{385}\\[5pt] \frac{770}{385}i_{2}=\frac{1925-420-903}{385}\\[5pt] \frac{770}{\cancel{385}}i_{2}=\frac{602}{\cancel{385}}\\[5pt] 770i_{2}=602\\[5pt] i_{2}=\frac{602}{770} \end{gather} \]
dividindo o numerador e o denominador por 14
\[ \begin{gather} i_{2}=\frac{602:14}{770:14}\\[5pt] i_{2}=\frac{43}{55}\\[5pt] i_{2}=0,78\ \text{A} \end{gather} \]
Substituindo o valor da corrente i3 na primeira equação
\[ \begin{gather} 5i_{1}+2.\frac{12}{77}=5\\[5pt] 5i_{1}=5-\frac{24}{77} \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador por 77 do lado direito da igualdade
\[ \begin{gather} 5i_{1}=5.\frac{77}{77}-\frac{24}{77}\\[5pt] 5i_{1}=\frac{385}{77}-\frac{24}{77}\\[5pt] 5i_{1}=\frac{361}{77}\\[5pt] i_{1}=\frac{361}{5.77}\\[5pt] i_{1}=\frac{361}{385}\\[5pt] i_{1}=0,94\ \text{A} \end{gather} \]
Como o valor das correntes são todos positivos os sentidos escolhidos na Figura 1 estão corretos. Os valores das correntes são i1=0,94 A, i2=0,78 A, i3=0,16 A, i4=0,08 A, i5=0,70 A, e i6=0,78 A, e seus sentidos são os mostrados na Figura 1.

Observação: as transformações feitas aqui na matriz não são únicas, pode-se escolher outras operações que levem ao mesmo resultado, e também podem não ser as mais eficientes outras operações podem levar a uma sequência de cálculos mais simples.
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