Exercício Resolvido de Leis de Kirchhoff
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No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.



Dados do problema:

Resistores:
  • R1 = 1 Ω;
  • R2 = 2 Ω;
  • R3 = 1 Ω;
  • R4 = 2 Ω;
  • R5 = 1 Ω;
  • R6 = 2 Ω;
Baterias:
  • E1 = 10 V;
  • E2 = 20 V;
  • E3 = 10 V;
  • E4 = 20 V;
Solução

Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo GHAB temos a corrente i1 no sentido horário, no ramo BC a corrente i2 indo de B para C, no ramo CDEF a corrente i3 no sentido horário, no ramo CF a corrente i4 indo de C para F, no ramo FG a corrente i5 indo de F para G e no ramo BG a corrente i6 indo de B para G. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha α (GHABG), malha β (BCFGB) e malha γ (CDEFC) todas percorridas no sentido horário (Figura 1).

Figura 1
  • Aplicando a Lei dos Nós
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} i_{n}=0} \end{gather} \]
A corrente i1 chega ao nó B e as correntes i2 e i6 saem dele
\[ \begin{gather} i_{1}=i_{2}+i_{6} \tag{I} \end{gather} \]
A corrente i2 chega ao nó C e as correntes i3 e i4 saem dele
\[ \begin{gather} i_{2}=i_{3}+i_{4} \tag{II} \end{gather} \]
As correntes i3 e i4 chegam ao nó F e a corrente i5 sai dele
\[ \begin{gather} i_{5}=i_{3}+i_{4} \tag{III} \end{gather} \]
  • Aplicando a Lei das Malhas
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} V_{n}=0} \end{gather} \]
Para a malha α a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo as malhas β e γ (Figura 2)

Figura 2
\[ \begin{gather} R_{1}i_{1}-E_{2}+R_{6}i_{1}-E_{1}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores do problema
\[ \begin{gather} 1i_{1}-20+2i_{1}-10=0\\[5pt] 3i_{1}-30=0\\3i_{1}=30\\[5pt] i_{1}=\frac{30}{3}\\[5pt] i_{1}=10\;\text{A} \end{gather} \]
Para a malha β a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e γ (Figura 3)

Figura 3
\[ \begin{gather} R_{2}i_{2}+E_{3}+R_{5}i_{5}+E_{2}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores
\[ \begin{gather} 2i_{2}+10+1i_{5}+20=0\\[5pt] 2i_{2}+i_{5}+30=0 \\[5pt] 2i_{2}+i_{5}=-30 \tag{IV} \end{gather} \]
Para a malha γ a partir do ponto C no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e β (Figura 4)

Figura 4
\[ \begin{gather} R_{3}i_{3}-E_{4}+R_{4}i_{3}-E_{3}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores
\[ \begin{gather} 1i_{3}-20+2i_{3}-10=0\\[5pt] i_{3}+2i_{3}-30=0\\[5pt] 3i_{3}=30\\[5pt] i_{3}=\frac{30}{3}\\[5pt] i_{3}=10\;\text{A} \end{gather} \]
Substituindo os valores de i1 e i3 em (I), (II) e (III), temos com as equações (I), (II), (III) e (IV) um sistema de quatro equações a quatro incógnitas (i2, i4, i5 e i6)
\[ \left\{ \begin{array}{l} \;i_{2}+i_{6}=10\\ \;i_{2}-i_{4}=10\\ \;i_{5}-i_{4}=10\\ \;2i_{2}+i_{5}=-30 \end{array} \right. \]
isolando o valor de i4 na segunda equação
\[ \begin{gather} i_{4}=i_{2}-10 \tag{V} \end{gather} \]
substituindo a expressão (V) na terceira equação
\[ \begin{gather} i_{5}-(i_{2}-10)=10\\[5pt] i_{5}-i_{2}+10=10 \\[5pt] i_{5}-i_{2}=10-10 \\[5pt] i_{5}-i_{2}=0 \\[5pt] i_{5}=i_{2} \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo a expressão (VI) na quarta equação
\[ \begin{gather} 2i_{2}+i_{2}=-30\\[5pt] 3i_{2}=-30\\[5pt] i_{2}=\frac{-{30}}{3}\\[5pt] i_{2}=-10\ \text{A} \end{gather} \]
Pela expressão (VI)
\[ \begin{gather} i_{5}=-10\ \text{A} \end{gather} \]
Substituindo o valor de i2 na expressão (V)
\[ \begin{gather} i_{4}=-10-10\\[5pt] i_{4}=-20\ \text{A} \end{gather} \]
Substituindo o valor de i2 na primeira equação
\[ \begin{gather} -10+i_{6}=10\\[5pt] i_{6}=10+10\\[5pt] i_{6}=20\ \text{A} \end{gather} \]
Como o valor das correntes i2, i4 e i5 são negativos, isto indica que seus verdadeiros sentidos são contrários aos escolhidos na Figura 1. Os valores das correntes são i1=10 A, i2=10 A, i3=10 A, i4=20 A, i5=10 A, e i6=20 A e seus sentidos estão mostrados na Figura 5.

Figura 5
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