Exercício Resolvido de Leis de Kirchhoff

No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.

Dados do problema:

Resistores:

R₁ = 1 Ω;
R₂ = 2 Ω;
R₃ = 1 Ω;
R₄ = 2 Ω;
R₅ = 1 Ω;
R₆ = 2 Ω;

Baterias:

E₁ = 10 V;
E₂ = 20 V;
E₃ = 10 V;
E₄ = 20 V;

Solução:

Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo GHAB temos a corrente i₁ no sentido horário, no ramo BC a corrente i₂ indo de B para C, no ramo CDEF a corrente i₃ no sentido horário, no ramo CF a corrente i₄ indo de C para F, no ramo FG a corrente i₅ indo de F para G e no ramo BG a corrente i₆ indo de B para G. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha α (GHABG), malha β (BCFGB) e malha γ (CDEFC) todas percorridas no sentido horário (Figura 1).

Figura 1

Aplicando a Lei dos Nós

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_n i_n=0} \end{gather} \]

A corrente i₁ chega ao nó B e as correntes i₂ e i₆ saem dele

\[ \begin{gather} i_1=i_2+i_6 \tag{I} \end{gather} \]

A corrente i₂ chega ao nó C e as correntes i₃ e i₄ saem dele

\[ \begin{gather} i_2=i_3+i_4 \tag{II} \end{gather} \]

As correntes i₃ e i₄ chegam ao nó F e a corrente i₅ sai dele

\[ \begin{gather} i_5=i_3+i_4 \tag{III} \end{gather} \]

Aplicando a Lei das Malhas

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_n V_n=0} \end{gather} \]

Para a malha α a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo as malhas β e γ (Figura 2)

Figura 2

\[ \begin{gather} R_1i_1-E_2+R_6i_1-E_1=0 \end{gather} \]

substituindo os valores do problema

\[ \begin{gather} 1i_1-20+2i_1-10=0 \\[5pt] 3i_1-30=0 \\[5pt] 3i_1=30 \\[5pt] i_1=\frac{30}{3} \\[5pt] i_1=10\;\mathrm A \end{gather} \]

Para a malha β a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e γ (Figura 3)

Figura 3

\[ \begin{gather} R_2i_2+E_3+R_5i_5+E_2=0 \end{gather} \]

substituindo os valores

\[ \begin{gather} 2i_2+10+1i_5+20=0 \\[5pt] 2i_2+i_5+30=0 \\[5pt] 2i_2+i_5=-30 \tag{IV} \end{gather} \]

Para a malha γ a partir do ponto C no sentindo escolhido, esquecendo as malhas α e β (Figura 4)

Figura 4

\[ \begin{gather} R_3i_3-E_4+R_4i_3-E_3=0 \end{gather} \]

substituindo os valores

\[ \begin{gather} 1i_3-20+2i_3-10=0 \\[5pt] i_3+2i_3-30=0 \\[5pt] 3i_3=30 \\[5pt] i_3=\frac{30}{3} \\[5pt] i_3=10\;\mathrm A \end{gather} \]

Substituindo os valores de i₁ e i₃ em (I), (II) e (III), temos com as equações (I), (II), (III) e (IV) um sistema de quatro equações a quatro incógnitas (i₂, i₄, i₅ e i₆)

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} \;i_2+i_6=10\\ \;i_2-i_4=10\\ \;i_5-i_4=10\\ \;2i_2+i_5=-30 \end{array} \right. \end{gather} \]

isolando o valor de i₄ na segunda equação

\[ \begin{gather} i_4=i_2-10 \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na terceira equação

\[ \begin{gather} i_5-(i_2-10)=10 \\[5pt] i_5-i_2+10=10 \\[5pt] i_5-i_2=10-10 \\[5pt] i_5-i_2=0 \\[5pt] i_5=i_2 \tag{VI} \end{gather} \]

substituindo a equação (VI) na quarta equação

\[ \begin{gather} 2i_2+i_2=-30 \\[5pt] 3i_2=-30 \\[5pt] i_2=\frac{-{30}}{3} \\[5pt] i_2=-10\ \mathrm A \end{gather} \]

Pela equação (VI)

\[ \begin{gather} i_5=-10\;\mathrm A \end{gather} \]

Substituindo o valor de i₂ na equação (V)

\[ \begin{gather} i_4=-10-10 \\[5pt] i_4=-20\;\mathrm A \end{gather} \]

Substituindo o valor de i₂ na primeira equação

\[ \begin{gather} -10+i_6=10 \\[5pt] i_6=10+10 \\[5pt] i_6=20\;\mathrm A \end{gather} \]

Como o valor das correntes i₂, i₄ e i₅ são negativos, isto indica que seus verdadeiros sentidos são contrários aos escolhidos na Figura 1. Os valores das correntes são i₁=10 A, i₂=10 A, i₃=10 A, i₄=20 A, i₅=10 A, e i₆=20 A e seus sentidos estão mostrados na Figura 5.

Figura 5