Duas esferas iguais, eletrizadas com cargas q1 e q2, repelem-se com
força de intensidade 2,0×10−3 N, quando a distância entre elas é d. A seguir
as esferas são colocadas em contato e afastadas de
\( \dfrac{d}{2} \).
Nestas novas condições, a força de repulsão passa a ter intensidade de 9,0\times 10−3 N.
Determinar a relação
\( \dfrac{q_1}{q_2} \).
Dados do problema:
- Carga da esfera 1: q1;
- Carga da esfera 2: q2;
- Distância inicial entre as esferas: d;
- Intensidade inicial da força entre as esferas: Fi= 2,0×10−3 N;
-
Distância final entre as esferas:
\( \dfrac{d}{2} \);
- Intensidade final da força entre as esferas: Ff= 9,0×10−3 N;
- Constante eletrostática: k.
Esquema do problema:
Inicialmente as esferas estão separadas por uma distância d e uma força Fi atua
sobre elas. A seguir as esferas são colocadas em contato, a carga total das esferas vai se distribuir
igualmente pelas duas esferas (Figura 1).
Finalmente as esferas são colocadas a uma distância
\( \dfrac{d}{2} \)
e uma força Ff atua sobre elas.
Solução:
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{\small E}=k_0\frac{|Q|\;|q|}{r^2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (I) para a situação inicial.
\[
\begin{gather}
F_i=k\frac{|q_1|\;|q_2|}{d^2} \\[5pt]
2,0\times 10^{-3}=k\frac{q_1q_2}{d^2} \tag{II}
\end{gather}
\]
Quando as esferas são colocadas em contato suas cargas se distribuem igualmente pelas duas esferas, a carga
final delas será
\[
\begin{gather}
q_f=\frac{q_1+q_2}{2}
\end{gather}
\]
Aplicando a equação (I) para a situação final.
\[
\begin{gather}
F_f=k\frac{|q_f|\;|q_f|}{r^2} \\[5pt]
9,0\times 10^{-3}=k\frac{\left(\dfrac{q_1+q_2}{2}\right)\left(\dfrac{q_1+q_2}{2}\right)}{\left(\dfrac{d}{2}\right)^2} \\[5pt]
9,0\times 10^{-3}=k\frac{\dfrac{\left(q_1+q_2\right)^2}{\cancel 4}}{\dfrac{d^2}{\cancel 4}} \\[5pt]
9,0\times 10^{-3}=k\frac{\left(q_1+q_2\right)^2}{d^2} \tag{III}
\end{gather}
\]
Dividindo a equação (II) pela equação (III).
\[
\begin{gather}
\frac{2,0\times 10^{-3}}{9,0\times 10^{-3}}=\frac{\cancel k\dfrac{q_1q_2}{\cancel{d^2}}}{\cancel k\dfrac{\left(q_1+q_2\right)^2}{\cancel{d^2}}} \\[5pt]
\frac{2,0}{9,0}=\frac{q_1q_2}{\left(q_1+q_2\right)^2}
\end{gather}
\]
Lembrando dos
Produtos Notáveis
\( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 . \)
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
Aplicando esse Produto Notável ao denominador do lado direito da igualdade
\[
\begin{gather}
\frac{2,0}{9,0}=\frac{q_1q_2}{\left(q_1^2+2q_1q_2+q_2^2\right)} \\[5pt]
2,0\left(q_1^2+2q_1q_2+q_2^2\right)=9,0q_1q_2 \\[5pt]
2,0q_1^2+4,0q_1q_2+2,0q_2^2=9,0q_1q_2 \\[5pt]
2,0q_1^2+2,0q_2^2=9,0q_1q_2-4,0q_1q_2 \\[5pt]
2,0q_1^2+2,0q_2^2=5,0q_1q_2 \\[5pt]
2,0\left(q_1^2+q_2^2\right)=5,0q_1q_2 \\[5pt]
\frac{q_1^{\cancel 2}}{\cancel{q_1}q_2}+\frac{q_2^{\cancel 2}}{q_1\cancel{q_2}}=\frac{5,0}{2,0} \\[5pt]
\frac{q_1}{q_2}+\frac{q_2}{q_1}=\frac{5,0}{2,0} \\[5pt]
\frac{q_1}{q_2}+\frac{q_2}{q_1}-\frac{5,0}{2,0}=0
\end{gather}
\]
fazendo a definição
\( x\equiv \dfrac{q_1}{q_2}\Rightarrow \dfrac{1}{x}\equiv\dfrac{q_2}{q_1} \)
\[
\begin{gather}
x+\frac{1}{x}-\frac{5,0}{2,0}=0
\end{gather}
\]
multiplicando a equação por 2x
\[
\begin{gather}
\qquad\qquad\quad x+\frac{1}{x}-\frac{5}{2}=0\qquad (\times2x) \\[5pt]
2 x\times x+2 \cancel x\times\frac{1}{\cancel x}-\cancel 2 x\times\frac{5}{\cancel 2}=0 \\[5pt]
2x^2+2-5x=0 \\[5pt]
2x^2-5x+2=0
\end{gather}
\]
Solução da equação
\( 2x^2-5x+2=0 \)
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 2\times 2=25-16=9 \\[10pt]
x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-(-5)\pm \sqrt{9\;}}{2\times 2}=\frac{5\pm 3}{4}
\end{gather}
\]
as duas raízes da equação são
\[
\begin{gather}
x_1=2 \qquad \text{e} \qquad x_2=\frac{1}{2}
\end{gather}
\]
Temos duas soluções possíveis
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{q_1}{q_2}=2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{q_1}{q_2}=\frac{1}{2}}
\end{gather}
\]
Observação: O problema não fornece os valores das cargas ou qual delas têm o maior valor.
A primeira solução
\( \dfrac{q_1}{q_2}=2\Rightarrow q_1=2q_2 \)
nos dá que a primeira esfera está carregada com uma carga que é 2 vezes maior do que a carga da
segunda esfera. A segunda solução
\( \dfrac{q_1}{q_2}=\frac{1}{2}\Rightarrow q_2=2q_1 \)
nos dá que a segunda esfera está carregada com uma carga que é 2 vezes maior do que a carga da
primeira esfera. A solução do problema contempla todas as possibilidades que correspondem a situação dada.
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