Uma carga q= 1,0 μC está fixa num ponto O do espaço. Uma segunda carga
Q= 25,0×10−8 C e de peso P= 2,5×10−2 N tem seu
movimento limitado à vertical que passa por O. As cargas estão no vácuo. Determine:
a) A carga Q está em equilíbrio acima ou abaixo de O?
b) No equilíbrio qual a distância entre as cargas?
c) O tipo de equilíbrio de Q, estável, instável ou indiferente?
Dados do problema:
- Carga q: q= 1,0 μC= 1,0×10−6 C;
- Carga Q: Q= 25,0×10−8 C;
- Peso da esfera de carga Q: P= 2,5×10−2 N;
- Constante eletrostática do vácuo:
\( k_0=9\times 10^9\;\frac{\mathrm{N.m}^2}{\mathrm{C}^2} \).
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência orientado para cima com origem no ponto onde está colocada a carga
fixa q, a aceleração da gravidade igual a g orientada para baixo (Figura 1). A carga livre
Q está a uma distância d da origem. Como as duas cargas são positivas a força elétrica
\( {\vec F}_{\small E} \)
entre elas é de repulsão e a força peso
\( \vec P \)
que atua na carga Q aponta para baixo no mesmo sentido da aceleração da gravidade.
Solução:
a) Para que o sistema permaneça em equilíbrio a resultante das forças que atuam na carga Q devem ser nula.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum \vec F=0}
\end{gather}
\]
Pela Figura 1 podemos escrever
\[
\begin{gather}
F_{\small E}-P=0 \tag{I}
\end{gather}
\]
pela Lei de Coulomb a intensidade da força elétrica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{\small E}=k_0\frac{|Q|\;|q|}{r^2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (I)
\[
\begin{gather}
k_0\frac{|Q||q|}{r^2}-P=0 \\[5pt]
9\times 10^9\times\frac{|25,0\times 10^{-8}\;||1,0\times 10^{-6}\;|}{d^2}-2,5\times 10^{-2}=0 \\[5pt]
9\times 10^9\times\frac{25,0\times 10^{-8}1,0\times 10^{-6}}{d^2}=2,5\times 10^{-2} \\[5pt]
9\times 10^9\times 25,0\times 10^{-14}=2,5\times 10^{-2}d^2 \\[5pt]
d^2=\frac{9\times 25,0\times 10^{-5}}{2,5\times 10^{-2}} \\[5pt]
d^2=9\times 10\times 10^{-5}\times 10^2 \\[5pt]
d^2=9\times 10^{-2} \\[5pt]
d=\sqrt{9\times 10^{-2}\;} \\[5pt]
d=\pm 3\times 10^{-1}\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Para a raiz positiva a carga está acima do ponto O, como as cargas são positivas a força elétrica
de repulsão em Q aponta para cima e a força peso para baixo estas forças se anulam e carga está
em equilíbrio (Figura 2-A). Para a raiz negativa a carga está abaixo do ponto O, a força elétrica
de repulsão aponta para baixo, a força peso também aponta para baixo haverá uma força resultante nessa
direção que fará a carga Q se afastar de q, a situação não é de equilíbrio.
A carga Q está em equilíbrio
acima
do ponto O.
b) No equilíbrio a distância entre as cargas será de
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{d=3\times 10^{-1}\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
c) Inicialmente a carga Q está numa posição de equilíbrio a uma distância d da carga
q, neste ponto a força elétrica e a força peso se anulam (Figura 3-A). Como a intensidade da
força elétrica dada pele Lei de Coulomb é igual a FE, se a carga Q for
deslocada para cima, aumentando a distância d até a carga q, o denominador da equação
(II) aumenta e como resultado a força elétrica diminui. Como a força peso é constante isto faz aparecer
uma força resultante para baixo o que traz o sistema de volta ao equilíbrio (Figura 3-B). Se a carga
Q for deslocada para baixo, diminuindo a distância d até a carga q, o denominador
da equação (II) diminui e como resultado a força elétrica aumenta. Como a força peso é constante isto
faz aparecer uma força resultante para cima o que traz o sistema de volta ao equilíbrio (Figura 3-C).
Portanto o equilíbrio é estável.
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