Duas esferas carregadas, com cargas q1 e q2 de mesmo sinal, estão
ligadas por um fio de material isolante de comprimento R e diâmetro d. Determinar o diâmetro
mínimo desse fio para que resista a força elétrica de repulsão entre as cargas sabendo que um outro fio de
mesmo material e diâmetro D resiste no máximo a uma tração de intensidade T. Suponha o
sistema no vácuo.
Dados do problema:
- Carga 1: q1;
- Carga 2: q2;
- Distância entre as cargas: R;
- Diâmetro do fio conhecido: D;
- Tração no fio conhecido: T;
- Constante eletrostática do vácuo: k0.
Esquema do problema:
Como as cargas são de mesmo sinal existe entre elas uma força elétrica de repulsão
\( {\vec F}_{\small E} \),
esta força tenciona o fio que liga as cargas com uma força de intensidade
\( {\vec T}_{\small E} \) (Figura 1).
Solução:
Pela Lei de Coulomb a intensidade da força elétrica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{\small E}=k_0\frac{|Q_1||Q_2|}{r^2}}
\end{gather}
\]
a força elétrica de repulsão entre as esferas será
\[
\begin{gather}
F_{\small E}=k_0\frac{q_1\;q_2}{R^2} \tag{I}
\end{gather}
\]
Ampliando uma seção transversal do fio que une as esferas (Figura 2), podemos ver que a tração no fio
pode ser dividida por unidade de área do fio.
\[
\begin{gather}
T_u=\frac{T_{\small E}}{a} \tag{II}
\end{gather}
\]
A área da seção transversal circular do fio é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=\pi r^2}
\end{gather}
\]
sendo o raio metade do diâmetro do fio,
\( \left(r=\frac{d}{2}\right) \).
\[
\begin{gather}
a=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 \\[5pt]
a=\pi\frac{d^2}{4} \tag{III}
\end{gather}
\]
como a força elétrica de repulsão é igual a tensão no fio, FE= TE,
substituímos as equações (I) e (III) na equação (II) para obter a tração por unidade de área.
\[
\begin{gather}
T_u=\frac{k_0\dfrac{q_1\;q_2}{R^2}}{\pi\dfrac{d^2}{4}} \\[5pt]
T_u=k_0\frac{q_1\;q_2}{R^2}\frac{4}{\pi d^2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
O problema nos diz que um outro fio conhecido, de diâmetro
D resiste a uma tração de módulo
T. Usando o mesmo raciocínio podemos obter a tração por unidade de área neste fio (Figura 3).
\[
\begin{gather}
T_u=\frac{T}{A} \tag{V}
\end{gather}
\]
A área da seção transversal circular do fio é dada por
\[
\begin{gather}
A=\pi r^2
\end{gather}
\]
sendo o raio metade do diâmetro do fio,
\( \left(r=\frac{D}{2}\right) \).
\[
\begin{gather}
A=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2 \\[5pt]
A=\pi\frac{D^2}{4} \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VI) na equação (V), obtemos a tração por unidade de área do fio conhecido.
\[
\begin{gather}
T_u=\frac{T}{\pi\dfrac{D^2}{4}} \\[5pt]
T_u=T\frac{4}{\pi D^2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
O fio mais grosso resiste a uma tração maior que o fio mais fino, pois sua área é maior, mas a tração por
unidade de área é igual para os dois fios, igualando as equações (IV) e (VII)
\[
\begin{gather}
k_0\frac{q_1\;q_2}{R^2}\frac{\cancel 4}{\cancel{\pi} d^2}=T\frac{\cancel 4}{\cancel{\pi} D^2} \\[5pt]
k_0\frac{q_1\;q_2}{R^2}\frac{1}{d^2}=T\frac{1}{D^2} \\[5pt]
k_0\frac{q_1\;q_2}{R^2}\frac{D^2}{T}=d^2 \\[5pt]
d=\sqrt{k_0\frac{q_1\;q_2}{R^2}\frac{D^2}{T}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{d=\frac{D}{R}\sqrt{k_0\frac{q_1q_2}{T}}}
\end{gather}
\]
EN
