Quatro cargas positivas iguais a q, estão localizadas nos vértices de um tetraedro regular de
lados iguais a d. Encontrar a intensidade da força elétrica, devido as três cargas que formam a
base do tetraedro, na carga localizada no ponto P acima da base.
Dados do problema:
- Valor das cargas elétricas: +q;
- Distância entre as cargas: d.
Esquema do problema:
Como todas as cargas têm o mesmo sinal, as cargas da base do tetraedro vão repelir a carga localizada no
ponto P, e como os valores das cargas são iguais e a distância entre elas é a mesma a intensidade
da força elétrica de repulsão
\( {\vec F}_{\small E} \)
será a mesma (Figura 1).
Solução:
A Lei de Coulomb é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{\small E}=k_0\frac{|q||Q|}{r^2}}
\end{gather}
\]
Olhando para um plano vertical que passa por uma das cargas da base e pela carga no ponto
P
(Figura 2), aplicando a
Lei de Coulomb, a força elétrica de repulsão será
\[
\begin{gather}
F_{\small E}=k_0\frac{|q||q|}{d^2} \\[5pt]
F_{\small E}=k_0\frac{q^2}{d^2} \tag{I}
\end{gather}
\]
Essa força elétrica pode ser decomposta nas direções paralelas ao plano da base do tetraedro
\( {\vec F}_{\small{EP}} \)
e normal ao plano
\( {\vec F}_{\small{EN}} \).
Desenhamos a força elétrica em um sistema de eixos
Cartesianos e obtemos as suas componentes
(Figura 3).
\[
\begin{gather}
F_{\small{EP}}=F_{\small E}\operatorname{sen}\theta \tag{II-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{\small{EN}}=F_{\small E}\cos\theta \tag{II-b}
\end{gather}
\]
onde o ângulo
θ é medido entre o vetor força elétrica
\( {\vec F}_{\small E} \)
e a componente normal
\( {\vec F}_{\small{EN}} \)
ao plano, é o mesmo ângulo medido entre a aresta
d do tetraedro e a altura
h
(são ângulos opostos pelo vértice).
- Forças paralelas ao plano, \( {\vec F}_{\small{EP}} \):
Por simetria do problema, cada carga da base vai interagir da mesma forma com a carga em P, assim
temos três componentes paralelas
\( {\vec F}_{\small{EP}} \)
atuando nesse ponto (Figura 4-A). Olhando de cima (Figura 4-B) vemos essas forças igualmente distribuídas
em torno da carga em P. Pelo Método do Polígono para soma de vetores (Figura 4-C) temos que
estas forças formam uma poligonal fechada, portanto a resultante das forças paralelas devido às cargas da
base é nula.
\[
\begin{gather}
F_{\small{EP}}+F_{\small{EP}}+F_{\small{EP}}=0
\end{gather}
\]
- Forças normais ao plano, \( {\vec F}_{\small{EN}} \):
Para encontrarmos o valor da componente normal ao plano
\( {\vec F}_{\small{EN}} \)
devemos encontrar o cosseno do ângulo θ em função da distância d entre as cargas.
O cosseno θ é calculado por
\[
\begin{gather}
\cos\theta=\frac{h}{d} \tag{III}
\end{gather}
\]
Como o tetraedro é regular as faces laterais são triângulos equiláteros (possuem os três lados iguais)
a altura
a de uma das faces é encontrada usando o
Teorema de Pitágoras (Figura 5).
\[
\begin{gather}
d^2=a^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2 \\[5pt]
d^2=a^2+\frac{d^2}{4} \\[5pt]
a^2=d^2-\frac{d^2}{4}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 4 o primeiro termo do lado direito da equação.
\[
\begin{gather}
a^2=\frac{4}{4}\times d^2-\frac{d^2}{4} \\[5pt]
a^2=\frac{4d^2-d^2}{4} \\[5pt]
a^2=\frac{3d^2}{4} \\[5pt]
a=\sqrt{\frac{3d^2}{4}\;} \\[5pt]
a=\frac{d\sqrt{3\;}}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
A altura
h do tetraedro divide a base em dois segmentos de tamanhos
m e
n
(Figura 6), de onde podemos escrever as seguintes relações, a soma de
m e
n é a altura
a do triângulo da base.
\[
\begin{gather}
a=m+n
\end{gather}
\]
substituindo o valor de
a encontrado em (IV)
\[
\begin{gather}
\frac{d\sqrt{3\;}}{2}=m+n \tag{V}
\end{gather}
\]
aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da direita com catetos m e
h, e hipotenusa a.
\[
\begin{gather}
a^2=m^2+h^2
\end{gather}
\]
substituindo o valor de a encontrado em (IV).
\[
\begin{gather}
\left(\frac{d\sqrt{3\;}}{2}\right)^2=m^2+h^2 \\[5pt]
\frac{3d^2}{4}=m^2+h^2 \tag{VI}
\end{gather}
\]
aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da esquerda com catetos n e
h, e hipotenusa d.
\[
\begin{gather}
d^2=n^2+h^2 \tag{VII}
\end{gather}
\]
Subtraindo a equação (VI) da equação (VII).
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{matrix}
\quad d^2=n^2+h^2 \\
(-)\quad \dfrac{3d^2}{4}=m^2+h^2\quad\;\;
\end{matrix}}
{d^2-\dfrac{3d^2}{4}=n^2+h^2-(m^2+h^2)} \\[5pt]
d^2-\frac{3d^2}{4}=n^2+h^2-m^2-h^2 \\[5pt]
d^2-\frac{3d^2}{4}=n^2-m^2
\end{gather}
\]
Lembrando dos
Produtos Notáveis
\( x^2-y^2=(x+y)(x-y) \)
\[ x^2-y^2=(x+y)(x-y) \]
do lado esquerdo, multiplicando e dividindo por 4 o primeiro termo da equação
\[
\begin{gather}
\frac{4}{4}\times d^2-\frac{3d^2}{4}=(n+m)(n-m) \\[5pt]
\frac{4d^2-3d^2}{4}=(n+m)(n-m) \\[5pt]
\frac{d^2}{4}=(n+m)(n-m)
\end{gather}
\]
substituindo o termo n+m pelo valor dado em (V).
\[
\begin{gather}
\frac{d^2}{4}=\frac{d\sqrt{3\;}}{2}(n-m) \\[5pt]
n-m=\frac{d^2}{\cancelto{2}{4}}\times\frac{\cancel 2}{d\sqrt{3\;}} \\[5pt]
n-m=\frac{d}{2\sqrt{3\;}}
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador por
\( \sqrt{3\;} \)
do lado direito da igualdade.
\[
\begin{gather}
n-m=\frac{d}{2\sqrt{3\;}}\times\frac{\sqrt{3\;}}{\sqrt{3\;}} \\[5pt]
n-m=\frac{d\sqrt{3\;}}{2\times 3} \\[5pt]
n-m=\frac{d\sqrt{3\;}}{6} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Somando as equações (V) e (VIII).
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{matrix}
\quad n+m=\dfrac{d\sqrt{3\;}}{2} \\
(\text{+})\quad n-m=\dfrac{d\sqrt{3\;}}{6} \quad\;
\end{matrix}}
{2n=\dfrac{d\sqrt{3\;}}{2}+\dfrac{d\sqrt{3\;}}{6}}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 3 o primeiro termo do lado direito da equação.
\[
\begin{gather}
2n=\frac{3}{3}\times\frac{d\sqrt{3\;}}{2}+\frac{d\sqrt{3\;}}{6} \\[5pt]
2n=\frac{3d\sqrt{3\;}+d\sqrt{3\;}}{6} \\[5pt]
n=\frac{4d\sqrt{3\;}}{2\times 6} \\[5pt]
n=\frac{d\sqrt{3\;}}{3} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Usando a equação (VII) podemos determinar h em função de d.
\[
\begin{gather}
d^2=\left(\frac{d\sqrt{3\;}}{3}\right)^2+h^2 \\[5pt]
d^2=\frac{3d^2}{9}+h^2 \\[5pt]
h^2=d^2-\frac{3d^2}{9}
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo por 9 o primeiro termo do lado direito da equação
\[
\begin{gather}
h^2=\frac{9}{9}\times d^2-\frac{3d^2}{9} \\[5pt]
h^2=\frac{9d^2-3d^2}{9} \\[5pt]
h^2=\frac{6d^2}{9} \\[5pt]
h=\sqrt{\frac{6d^2}{9}\;} \\[5pt]
h=\frac{d\sqrt{6\;}}{3} \tag{X}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (X) para h na equação (III) para o cosseno de θ.
\[
\begin{gather}
\cos\theta=\frac{\dfrac{d\sqrt{6\;}}{3}}{d} \\[5pt]
\cos\theta=\frac{\cancel d\sqrt{6\;}}{3}\times\frac{1}{\cancel d} \\[5pt]
\cos\theta=\frac{\sqrt{6\;}}{3}
\end{gather}
\]
Usando as equações (I), (II) e o cosseno, calculado acima, a força elétrica normal ao plano para a
interação entre uma das cargas da base e a carga no ponto P será
\[
\begin{gather}
F_{\small{EN}}=k_0\frac{q^2}{d^2}\times\frac{\sqrt{6\;}}{3}
\end{gather}
\]
Por simetria a carga no ponto
P interage igualmente com as outras duas cargas da base, então a
força elétrica resultante sobre a carga em
P será (Figura 7).
\[
\begin{gather}
F_{\small{ER}}=3F_{\small{EN}} \\[5pt]
F_{\small{ER}}=\cancel 3\times k_0\frac{q^2}{d^2}\times\frac{\sqrt{6\;}}{\cancel 3}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{F_{\small{ER}}=k_0\frac{q^2\sqrt{6\;}}{d^2}}
\end{gather}
\]
EN
