Três esferas, cada uma delas de peso P e eletrizada com carga Q, estão suspensas por fios isolantes de comprimento L presos a um mesmo ponto. Na posição de equilíbrio os fios formam um ângulo θ com a vertical. Calcule a carga Q,

Dados do problema:

• Peso de cada esfera: P;
• Comprimento do fio: L;
• Ângulo entre o fio e a vertical: θ;
• Constante eletrostática do vácuo: k₀.

Solução:

Olhando este arranjo de cargas de cima em direção a um plano horizontal que contém as cargas (Figura 1-A), como todas as cargas têm o mesmo valor elas se repelem ficando equidistantes umas das outras (Figura 1-B). As cargas estão nos vértices de um triângulo equilátero, sendo a distância entre duas cargas igual a d, o ângulo entre dois lados do triângulo é de 60º.

Figura 1

A distância de uma carga ao centro da distribuição é R e a distância d entre duas cargas, lado do triângulo, pode ser encontrada aplicando-se a Lei dos Cossenos (Figura 1-B).

Sobre uma das cargas atua a força elétrica \( {\vec F}_{\small E} \) devido às outras duas cargas, usando a Lei de Coulomb.

O ângulo ente estas forças é oposto ao ângulo do triângulo onde está a carga, assim este ângulo também mede 60º (Figura 1-B). A força elétrica resultante sobre uma das cargas, \( {\vec F}_{\small{ER}} \), é calculada aplicando a Lei dos Cossenos.

substituindo o valor da força entre duas cargas encontrado na equação (I) na equação (II), temos a resultante sobre uma das cargas.

O raio da circunferência em torno do qual as esferas se distribuem pode ser escrito em função de L e θ dados (Figura 2).

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{R}{L} \\[5pt] R=L\operatorname{sen}\theta \tag{IV} \end{gather} \]

substituindo a equação (IV) na equação (III).

\[ \begin{gather} F_{\small E}=k_0\frac{Q^2}{L^2\operatorname{sen}^2\theta}\frac{\sqrt{3\;}}{3} \tag{V} \end{gather} \]

Figura 2

Observação: Por que na primeira Lei dos Cossenos foi usado o sinal de subtração do cosseno e na segunda uma soma?

Para um triângulo de lados a, b, c e ângulo α, oposto ao lado c como na figura, a Lei dos Cossenos é escrita como

\[ \begin{gather} c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha \end{gather} \]

como é o primeiro caso do problema.

Figura 3

No entanto se o lado b do triângulo for colocado numa posição formando um ângulo β com o lado a, este ângulo será o mesmo que o ângulo formado entre um prolongamento do lado a e a posição original do lado b, estes dois ângulo são suplementares (sua soma é 180°), assim o valor de β será

\[ \begin{gather} \alpha+\beta=180° \\[5pt] \beta=180°-\alpha \end{gather} \]

Aplicanado a Lei dos Cossenos a este caso

\[ \begin{gather} c^2=a^2+b^2+2ab\cos\beta \\[5pt] c^2=a^2+b^2+2ab\cos(180°-\alpha ) \end{gather} \]

pela identidade do cosseno da diferença de arcos

\[ \begin{gather} \cos(x-y)=\cos x\cos y+\operatorname{sen}x\operatorname{sen}y \end{gather} \]

Figura 4

\[ \begin{gather} c^2=a^2+b^2+2ab(\cos 180°\cos\alpha+\operatorname{sen}180°\operatorname{sen}\alpha) \\[5pt] c^2=a^2+b^2+2ab(-1\times\cos\alpha +0\times\operatorname{sen}\alpha) \\[5pt] c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha \end{gather} \]

o segundo caso do problema é equivalente ao primeiro.
Assim as duas equações coincidem, dependendo apenas de qual ângulo é considerado.

Olhando agora em direção a um plano vertical que contenha uma carga e o fio que a sustenta (Figura 5-A). Atuam sobre a carga a força peso \( \vec P \), a tensão no fio \( \vec T \) e a força elétrica \( {\vec F}_{\small E} \) devido às outras cargas (Figura 5-B). O ângulo do fio, onde a carga esta fixada, e a vertical é dado igual a θ este também é o ângulo entre o fio e a vertical que passa pela carga, são ângulo alternos internos.
Desenhamos as forças em um sistema de eixos Cartesianos e decompomos as forças ao longo das direções x e y (Figura 6). Aplicando a 2.ª Lei de Newton

Figura 5

• Direção y:

Na direção y temos a força peso \( \vec P \) e a componente y da força de tensão \( {\vec T}_y \), como não há movimento nesta direção as forças se anulam e a resultante é zero.

\[ \begin{gather} P-T_y=0 \\[5pt] P=T_y \tag{VII} \end{gather} \]

O ângulo θ é medido entre a força tensão e o eixo-y, então a componente da força de tensão na direção y é dada por

\[ \begin{gather} T_y=T\cos\theta \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VIII) na equação (VII).

\[ \begin{gather} P=T\cos\theta \tag{IX} \end{gather} \]

Figura 6

• Direção x:

Na direção x temos a força elétrica \( {\vec F}_{\small E} \) e a componente horizontal da força de tensão \( {\vec T}_x \), como não há movimento nesta direção as forças se anulam e resultante é zero.

a componente da força de tensão na direção x é dada por

substituindo a equação (XI) na equação (X).

Dividindo a equação (XI) pela equação (IX).

substituindo a força elétrica pelo valor encontrado na equação (V).

multiplicando o termo do lado direito da igualdade por \( \frac{\sqrt{3\;}}{\sqrt{3\;}} \).