Um fio condutor de níquel tem 50 m de comprimento e 0,5 mm de diâmetro. Entre os extremos deste fio aplica-
se uma diferença de potencial de 110 volts. A resistividade do níquel é
0,342 Ω.mm2.m−1. Determine-se:
a) A condutividade do níquel;
b) A resistência do fio;
c) A condutância do fio;
d) A intensidade da corrente;
e) A potência absorvida;
f) A energia absorvida em 1 hora.
Dados do problema:
- Comprimento do fio: L = 50 m;
- Diâmetro do fio: d = 0,5 mm;
- d.d.p. entre as extremidades do fio: U = 110 V;
- Resistividade do níquel: ρ = 0,342 Ω.mm2.m−1.
Esquema do problema:
Solução:
Em primeiro lugar vamos converter o diâmetro do fio dado em milímetros (mm) para metros (m), a
resistividade do níquel dada em ohm-milímetro quadrado por metro
(Ω.mm2.m−1) para ohm-metro (Ω.m) e intervalo de tempo do
item (f), dado em horas (h), para segundos (s), utilizado no
Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[
\begin{gather}
d=0,5\;\cancel{\mathrm{mm}}\times\frac{10^{-3}\;\mathrm m}{1\;\cancel{\mathrm{mm}}}=5\times 10^{-1}\times 10^{-3}\;\mathrm m=5\times 10^{-4}\;\mathrm m \\[10pt]
\rho=0,342\;\frac{\Omega\times\cancel{\mathrm{mm}^2}}{\mathrm m}\times\frac{\left(10^{-3}\;\mathrm m\right)^2}{1\;\cancel{\mathrm{mm}^2}}=3,42\times 10^{-1}\;\frac{\Omega}{\cancel{\mathrm m}}\times 10^{-6}\;\mathrm m^{\cancel{2}}=3,42\times 10^{-7}\;\Omega\mathrm m \\[10pt]
1\;\mathrm{\cancel h}\times\frac{60\;\mathrm{\cancel{min}}}{1\;\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm s}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}=3600\;\mathrm{segundos}
\end{gather}
\]
a) A condutividade σ é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sigma=\frac{1}{\rho}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\sigma=\frac{1}{3,42\times 10^{-7}} \\[5pt]
\sigma=0,292\times 10^{7} \\[5pt]
\sigma=2,92\times 10^{-1}\times 10^{7}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\sigma=2,92\times 10^{6}\;\mathrm{S/m}}
\end{gather}
\]
b) A resistência R do fio é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{R=\rho\frac{L}{A}} \tag{I}
\end{gather}
\]
onde A é a área transversal do fio, a área um círculo é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A=\pi r^2}
\end{gather}
\]
o raio do fio será a metade do diâmetro dado no problema
\( r=\dfrac{d}{2} \)
\[
\begin{gather}
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (II) na equação (I), a resistência será
\[
\begin{gather}
R=\rho\frac{L}{\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^2}
\end{gather}
\]
substituindo os dados do problema e adotando π = 3,14
\[
\begin{gather}
R=3,42\times 10^{-7}\times\frac{50}{3,14\times \left(\dfrac{5\times 10^{-4}}{2}\right)^2} \\[5pt]
R=3,42\times 10^{-7}\times\frac{50}{3,14\times \dfrac{25\times 10^{-8}}{4}} \\[5pt]
R=\frac{4\times 3,42\times 10^{-7}\times 50}{3,14\times 25\times 10^{-8}} \\[5pt]
R=\frac{4\times 3,42\times 2}{3,14}\times 10^{-7}\times 10^{8} \\[5pt]
R=\frac{13,68}{3,14}\times 10
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{R=87,1\;\Omega}
\end{gather}
\]
c) A condutância G é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{G=\frac{1}{R}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
G=\frac{1}{87,1}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{G=0,011\;\mathrm{S}}
\end{gather}
\]
d) Usando a 1.ª Lei de Ohm
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{U=Ri}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
i=\frac{U}{R} \\[5pt]
i=\frac{110}{67,1}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{i=1,26\;\mathrm A}
\end{gather}
\]
e) A potência absorvida pelo fio é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=Ri^2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
P=87,1\times(1,26)^2 \\[5pt]
P=87,1\times 1,59
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{P=138,5\;\mathrm W}
\end{gather}
\]
f) A energia é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta E=P\Delta t}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\Delta E=138,5\times 3600
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta E=498600\;\mathrm J}
\end{gather}
\]
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