Determine o campo elétrico de um dipolo nos pontos situados na mediatriz do dipolo. Verifique a solução
para pontos muito afastados do centro do dipolo.
Construção do vetor campo elétrico resultante
Sobre a mediatriz do dipolo escolhemos um ponto P qualquer onde queremos calcular o campo
elétrico. Na direção do segmento de reta que liga a carga +q ao ponto P desenhamos o vetor
\( {\vec E}_{\mathrm +} \)
apontando para “fora” da carga, q>0 (Figura 1).
Na direção do segmento de reta que liga a carga −q ao ponto P desenhamos o vetor
\( {\vec E}_{\mathrm -} \)
apontando para “dentro” da carga, q<0 (Figura 2).
Traçamos pela extremidade do vetor
\( {\vec E}_{\mathrm +} \)
uma reta paralela ao vetor
\( {\vec E}_{\mathrm -} \)
(Figura 3).
Traçamos pela extremidade do vetor
\( {\vec E}_{\mathrm -} \)
uma reta paralela ao vetor
\( {\vec E}_{\mathrm +} \)
(Figura 4).
Do ponto P à intersecção das retas temos o vetor resultante
\( \vec E \).
O ângulo θ que as componentes do campo elétrico,
\( {\vec E}_{\mathrm +} \)
e
\( {\vec E}_{\mathrm -} \),
fazem com o vetor resultante
\( \vec E \)
é o mesmo ângulo que o segmento r faz com o segmento vertical d (Figura 5).
Solução:
O módulo do campo elétrico de cada carga é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=k_0\frac{q}{r^2}} \tag{I}
\end{gather}
\]
O campo elétrico resultante será dado por
\[
\begin{gather}
\vec E={\vec E}_1+{\vec E}_2
\end{gather}
\]
como as cargas têm o mesmo valor, em módulo
\( E_1=E_2 \)
\[
\begin{gather}
E=E_1\cos\theta+E_2\cos\theta \\[5pt]
E=2E_1\cos\theta \tag{II}
\end{gather}
\]
O cosseno de θ é obtido de r e d
\[
\begin{gather}
\cos\theta=\frac{d}{r} \tag{III}
\end{gather}
\]
o segmento r é obtido usando o Teorema de Pitágoras
\[
\begin{gather}
r^2=d^2+x^2 \\[5pt]
r=\sqrt{d^2+x^2\;} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[
\begin{gather}
\cos\theta=\frac{d}{\sqrt{d^2+x^2\;}} \tag{V}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (I) e (V) na equação (II)
\[
\begin{gather}
E=2k_0\frac{q}{\left(\sqrt{d^2+x^2\;}\right)^2}\frac{d}{\sqrt{d^2+x^2\;}} \\[5pt]
E=2k_0\frac{q}{\left(d^2+x^2\right)}\frac{d}{\left(d^2+x^2\right)^{\frac{1}{2}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{2k_0qd}{\left(d^2+x^2\right)^{\frac{3}{2}}}}
\end{gather}
\]
Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, x≫d, podemos desprezar o termo em
d2 no denominador e a solução será
\[
\begin{gather}
E=\frac{2k_0qd}{x^{{\cancel 2}\times{\frac{3}{\cancel 2}}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{2k_0qd}{x^3}}
\end{gather}
\]
EN
