Exercício Resolvido de Capacitores
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Um capacitor é formado por duas placas de áreas A e distância 2d, entre estas placas são colocados dois isolantes de constantes dielétricas k1 e k2 e espessura d, como na figura. Determinar a capacitância deste novo capacitor. Dado a permissividade do vácuo ε0.


Dados do problema:
  • Área das placas do capacitor:    A;
  • Distância entre as placas do capacitor:    2d;
  • Constante dielétrica do isolante 1:    k1;
  • Espessura do isolante 1:    d;
  • Constante dielétrica do isolante 2:    k2;
  • Espessura do isolante 2:    d;
  • Permissividade do vácuo:    ε0.
Solução

Este capacitor se comporta como uma associação em série de dois capacitores diferentes preenchidos por isolantes de constantes dielétricas k1 e k2 (Figura 1). A capacitância de um capacitor é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\varepsilon_0\frac{A}{d}} \end{gather} \]
Figura 1

Se não houvesse a presença dos isolantes (se fosse feito vácuo placas) as capacitâncias seriam
\[ \begin{gather} C_{01}=C_{02}=\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{I} \end{gather} \]
Com a presença dos isolantes a nova capacitância será dada por
\[ \begin{gather} C_1=k_1 C_{01} \tag{II-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} C_2=k_2 C_{02} \tag{II-b} \end{gather} \]
substituindo a equação (I) nas equações (II-a) e (II-b)
\[ \begin{gather} C_1=k_1\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{III} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} C_2=k_2\varepsilon_0\frac{A}{d} \tag{IV} \end{gather} \]
Para uma associação em série de dois capacitores, o capacitor equivalente Ceq é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C_{eq}=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}} \tag{V} \end{gather} \]
substituindo as equações (III) e (IV) na equação (V)
\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{k_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}k_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{k_1\varepsilon_0\dfrac{A}{d}+k_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}} \end{gather} \]
colocando   \( \varepsilon_0\frac{A}{d} \)   em evidência no denominador
\[ \begin{gather} C_{eq}=\frac{k_1\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}k_2\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}{\cancel{\varepsilon_0\dfrac{A}{d}}\left(k_1+k_2\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C_{eq}=\frac{k_1 k_2}{k_1+k_2}\varepsilon_0\frac{A}{d}} \end{gather} \]
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