Dois blocos metálicos A e B têm a 0 °C volumes iguais a 250,75 cm3 e
250 cm3, respectivamente. Os coeficientes de dilatação linear médios valem, respectivamente,
2×10−5 °C−1 e 3×10−5 °C−1.
Determine:
a) A temperatura em que os blocos têm volumes iguais;
b) Qual é o volume dos blocos na temperatura calculada no item (a).
Dados do problema:
- Volume inicial do bloco A: V0A = 250,75 cm3;
- Volume inicial do bloco B: V0B = 250 cm3;
- Coeficiente de dilatação linear do bloco A: αA = 2×10−5 °C−1;
- Coeficiente de dilatação linear do bloco B: αB = 3×10−5 °C−1;
- Temperatura inicial do sistema: t0 = 0 °C.
Esquema do problema:
Solução:
a) O problema nos dá os coeficientes de dilatação linear dos blocos e precisamos do coeficiente de
dilatação volumétrico que será
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\gamma=3\alpha}
\end{gather}
\]
Para o bloco A:
\[
\begin{gather}
\gamma_{\small A}=3\alpha_{\small A} \\[5pt]
\gamma_{\small A}=3\times 2\times 10^{-5} \\[5pt]
\gamma_{\small A}=6\times 10^{-5}\;\mathrm{°C^{-1}}
\end{gather}
\]
Para o bloco B:
\[
\begin{gather}
\gamma_{\small B}=3\alpha_{\small B} \\[5pt]
\gamma_{\small B}=3\times 6\times 10^{-5} \\[5pt]
\gamma_{\small B}=9\times 10^{-5}\;\mathrm{°C^{-1}}
\end{gather}
\]
O volume final volume é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=V_0(1+\gamma \Delta t)} \tag{I}
\end{gather}
\]
Escrevendo a equação (I) para os dois blocos
\[
\begin{gather}
V_{\small A}=V_{0\small A}[1+\gamma_{\small A}(t-t_0)] \\[5pt]
V_{\small A}=250,75\times[1+6.10^{-5}(t-0)] \\[5pt]
V_{\small A}=250,75\times[1+6\times 10^{-5}t] \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
V_{\small B}=V_{0\small B}[1+\gamma_{\small B}(t-t_0)] \\[5pt]
V_{\small B}=250\times[1+9\times10^{-5}(t-0)] \\[5pt]
V_{\small B}=250\times[1+9\times 10^{-5}t] \tag{III}
\end{gather}
\]
Impondo a condição de que os volumes sejam iguais, devemos igualar as equações (II) e (III)
\[
\begin{gather}
V_{\small A}=V_{\small B} \\[5pt]
250,75\times[1+6\times 10^{-5}t]=250\times[1+9\times 10^{-5}t] \\[5pt]
250,75+250,75\times 6\times 10^{-5}t=250+250\times 9\times 10^{-5}t \\[5pt]
250,75+1504,5\times 10^{-5}t=250+2250\times 10^{-5}t \\[5pt]
2250\times 10^{-5}t-1504,5\times 10^{-5}t=250,75-250 \\[5pt]
745,5\times 10^{-5}t=0,75 \\[5pt]
t=\frac{0,75}{745,5\times 10^{-5}} \\[5pt]
t=\frac{0,75\times 10^{5}}{745,5} \\[5pt]
t=\frac{75000}{745,5}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t\approx 100,6\;\mathrm{°C}}
\end{gather}
\]
b) Substituindo o resultado do item (a) na equação (II) temos o volume dos blocos
\[
\begin{gather}
V_{\small A}=250,75\times[1+6\times 10^{-5}\times 100,6] \\[5pt]
V_{\small A}=250,75\times[1+603,6\times 10^{-5}] \\[5pt]
V_{\small A}=250,75\times[1+0,006036] \\[5pt]
V_{\small A}=250,75\times[1,006036]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{V_{\small A}=V_{\small B}\approx 252,3\;\mathrm{cm}^3}
\end{gather}
\]
Observação: Obteríamos o mesmo resultado se tivéssemos substituído a temperatura na equação (III)
\[
\begin{gather}
V_{\small B}=250\times[1+9\times 10^{-5}\times 100,6] \\[5pt]
V_{\small B}=250\times[1+905,4\times 10^{-5}] \\[5pt]
V_{\small B}=250\times[1+0,009054] \\[5pt]
V_{\small B}=250\times[1,009054] \\[5pt]
V_{\small B}=V_{\small A}\approx 252,3\;\mathrm{cm}^3
\end{gather}
\]
EN
