Exercício Resolvido de Força Elétrica

O átomo de hidrogênio é constituído de um próton e um elétron. Segundo o modelo atômico de Bohr, o elétron descreve trajetória circular com o próton no centro.
Dados:
massa do elétron:   \( 9,1\times 10^{-31}\;\mathrm{kg} \) ;
velocidade escalar do elétron:   \( 2,2\times 10^\;\mathrm C \) ;
carga do próton:   \( 1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C \) ;
carga do elétron:   \( -1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C \) .
Determinar o raio da órbita do elétron para o átomo no vácuo.

Dados do problema:

Massa do elétron: \( m=9,1\times 10^{-31}\;\mathrm{kg} \) ;
Velocidade escalar do elétron: \( v=2,2\times 10^6\;\mathrm C \) ;
Carga do próton: \( q_p=1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C \) ;
Carga do elétron: \( q_e=-1,6\times 10^{-19}\;\mathrm C \) ;
Constante de Coulomb no vácuo: \( k_0=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \) .

Esquema do problema:

No elétron, q_e, atuam a velocidade tangencial \( \vec v \), a força elétrica \( {\vec F}_{\small E} \) e a força centrípeta \( {\vec F}_{cp} \) (Figura 1).

Figura 1

Solução:

Aplicando a Lei de Coulomb, a força elétrica é dada, em módulo, por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{\small E}=k_0\frac{|\;Q\;||\;q\;|}{r^2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} F_{\small E}=k_0\frac{|\;q_p\;||\;q_e\;|}{r^2} \tag{I} \end{gather} \]

O elétron realiza um Movimento Circular Uniforme (M.C.U.), está sob a ação da força centrípeta, escrevendo a 2.ª Lei de Newton para um corpo em movimento circular

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {F_{cp}=ma_{cp}} \tag{II} \end{gather} \]

a aceleração centrípeta é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (I)

\[ \begin{gather} F_{cp}=m\frac{v^2}{r} \tag{IV} \end{gather} \]

O próton e o elétron possuem cargas com sinais contrários. A força elétrica entre eles é de atração, como esta força coincide com a força centrípeta resultante, igualando as equações (I) e (IV)

\[ \begin{gather} k_0\frac{|\;q_p\;||\;q_e\;|}{r^{\cancel 2}}=m\frac{v^2}{\cancel r} \\[5pt] r=k_0\frac{|\;q_p\;||\;q_e\;|}{m v^2} \\[5pt] r=9\times 10^9\times\frac{|\;1,6\times 10^{-19}\;|\times|\;-1,6\times 10^{-19}\;|}{9,1\times 10^{-31}\times\left(2,2\times 10^6\right)^2} \\[5pt] r=\frac{23,4\times 10^9\times 10^{-38}\times 10^{18}}{4,4} \\[5pt] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {r\approx 5,3\times 10^{-11}\;\mathrm m} \end{gather} \]

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