Ejercicio Resuelto sobre Espejos Esféricos

Determinar la posición y altura de la imagen conjugada por un espejo esférico de radio 60 cm, a un objeto de altura 3 cm situado a 20 cm del vértice de un espejo convexo.

Datos del problema:

Radio de curvatura del espejo: R = 60 cm;
Altura del objeto: o = 3 cm;
Distancia del objeto al vértice del espejo: p = 20 cm.

Esquema del problema:

Usando la convención de signos, siendo positiva la dirección horizontal de donde proviene el rayo de luz (a la izquierda, donde está el objeto) y hacia arriba en la dirección vertical (Figura 1).

Figura 1

La distancia del foco al vértice, f, será la mitad del radio de curvatura, R, como el espejo es convexo, su foco es negativo (f < 0)

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f=-{\frac{R}{2}}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} f=-{\frac{60}{2}}\\[5pt] f=-30\;\mathrm{cm} \tag{I} \end{gather} \]

Construcción de la imagen en el espejo convexo

Dibujando un primer rayo de luz utilizando la propiedad de los espejos esféricos que dice que todo rayo de luz que incide paralelamente al eje principal se refleja pasando por el foco principal del espejo (Figura 2).

Figura 2

Dibujando un segundo rayo con la propiedad de que todo rayo de luz que incide en el vértice del espejo se refleja de forma simétrica al eje principal (Figura 3). Como no hay intersección de los rayos reflejados frente al espejo, vemos que se cruzan detrás del espejo, donde se forma la imagen.

Figura 3

Figura 4

Solución

Aplicando la Ecuación del Espejo, calculamos la distancia de la imagen al espejo, q

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} \end{gather} \]

usando la distancia del objeto al espejo, p, dada en el problema, y la distancia focal, f, obtenida en la expresión (I)

\[ \begin{gather} \frac{1}{-30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{q}\\[5pt] -{\frac{1}{30}}=\frac{1}{20}+\frac{1}{q}\\[5pt] \frac{1}{q}=-{\frac{1}{30}}-\frac{1}{20} \end{gather} \]

el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) entre 30 y 20 es 60

\[ \begin{gather} \frac{1}{q}=\frac{-2-3}{60}\\[5pt] \frac{1}{q}=\frac{-5}{60}\\[5pt] q=-{\frac{60}{5}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {q=-12\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]

Aplicando la Ecuación del Aumento, calculamos el tamaño de la imagen, i

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{i}{o}=-{\frac{q}{p}}} \end{gather} \]

utilizando la distancia del objeto al espejo y la altura del objeto dadas en el problema, y la distancia de la imagen al espejo obtenida anteriormente

\[ \begin{gather} \frac{i}{3}=-{\frac{(-12)}{20}}\\[5pt] \frac{i}{3}=\frac{12}{20}\\[5pt] i=\frac{3\times 12}{20}\\[5pt] i=\frac{36}{20} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {i=1,8\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]

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