Ejercicio Resuelto sobre Mecánica de Fluidos
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Un recipiente cilíndrico contiene mercurio hasta una altura de 10 cm y luego agua hasta una altura de 80 cm, medidas desde la base. Las masas específicas del mercurio y del agua son, respectivamente, 13,6 g/cm3 y 1 g/cm3. Determine la presión en el fondo del recipiente.


Datos del problema:
  • Densidade del mercurio:    ρm = 13,6 g/cm3;
  • Altura de la columna de mercurio:    hm = 10 cm;
  • Densidad del agua:    ρa = 1 g/cm3;
  • Altura del agua desde la base:    h = 80 cm;
  • Aceleración local de la gravedad:    g = 9,8 m/s2.
Esquema del problema:

Figura 1

Solución

En primer lugar, debemos convertir las densidades del agua y del mercurio, dadas en gramos por centímetro cúbico (g/cm3) a kilogramos por metro cúbico (kg/m3), y las alturas dadas en centímetros (cm) a metros (m), que se utilizan en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[ \begin{align} \rho_m=13,6\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=13,6\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}} =13600\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \end{align} \]
\[ \begin{gather} \rho_a=1\;\mathrm{\frac{\cancel g}{cm^3}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1000\;\cancel{g}}}\times\mathrm{\frac{(100\;cm)^3}{(1\;m)^3}}=1\;\mathrm{\frac{1}{\cancel{cm^3}}}\times\mathrm{\frac{1\;kg}{1\cancel{000}}}\times\mathrm{\frac{1 000 \cancel{000}\;\cancel{cm^3}}{1\;m^3}} =1000\;\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} h_m=10\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,1\;\mathrm m \end{gather} \]
\[ \begin{gather} h=80\;\mathrm{\cancel{cm}}\times \mathrm{\frac{1\;m}{100\;\cancel{cm}}}=0,8\;\mathrm m \end{gather} \]
La presión de la columna de líquido, pc, está dada por la Ley de Stevin
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p_c=\rho gh} \tag{I} \end{gather} \]
Para el mercurio, pm
\[ \begin{gather} p_m=\rho_m g h_m\\[5pt] p_m=13600\times 9,8\times 0,1\\[5pt] p_m=13328\;\mathrm{Pa} \tag{II} \end{gather} \]
La altura de la columna de agua, ha, será la diferencia entre la altura medida desde la base y la altura de la columna de mercurio
\[ \begin{gather} h_{a}=h-h_{m} \tag{III} \end{gather} \]
Aplicando la ecuación (I), obtenemos la presión de la columna de agua, pa
\[ \begin{gather} p_a=\rho_a g h_a \tag{IV} \end{gather} \]
sustituyendo la ecuación (III) en la ecuación (IV)
\[ \begin{gather} p_a=\rho_a g\;(h-h_m)\\[5pt] p_a=1000\times 9,8\times(0,8-0,1)\\[5pt] p_a=9800\times 0,7\\[5pt] p_a=6860\;\mathrm{Pa} \tag{V} \end{gather} \]
La presión total en el fondo del recipiente está dada por la suma de las ecuaciones (II) y (V)
\[ \begin{gather} p=p_m+p_a\\[5pt] p=13328+6860 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {p=20188\;\mathrm{Pa}} \end{gather} \]
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