Exercice Résolu sur les Condensateurs
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a) Quel doit être le rayon d'une sphère conductrice située dans le vide pour que sa capacité soit de 1 F?
b) En supposant que la planète Terre soit une sphère parfaite de rayon égal à 6400 km. Quelle est sa capacité électrique?
La Constante de Coulomb dans le vide: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).


Données du problème :
  • Capacité électrique du conducteur:    C=1 F;
  • Rayon de la Terre:    RT=6400 km;
  • Constante de Coulomb dans le vide:    \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).
Solution

a) La capacité électrique, en fonction de la charge Q et du potentiel V, est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=\frac{Q}{V}} \tag{I} \end{gather} \]
Le potentiel électrique d'un conducteur sphérique, de rayon R chargé avec une charge Q, est donné par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=k_e\frac{Q}{R}} \tag{II} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (II) dans l'équation (I)
\[ \begin{gather} C=\frac{Q}{k_e\dfrac{Q}{R}}\\[5pt] C=\frac{\cancel Q}{k_e}\frac{R}{\cancel Q}\\[5pt] C=\frac{R}{k_e} \tag{III}\\[5pt] R=Ck_e \end{gather} \]
en remplaçant les données du problème
\[ \begin{gather} R=1\times 9\times 10^9 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {R=9\times 10^9\;\mathrm m} \end{gather} \]

Remarque: ce résultat montre qu'1 farad est une unité très grande, pour avoir une sphère avec cette capacité elle devrait avoir un rayon de 9×106 km = 9000000 km.


b) Premièrement, convertissons le rayon de la Terre donné en kilomètres (km) en mètres (m) utilisés dans le Système International d'Unités (SI)
\[ \begin{gather} R_{\small T}=6400\;\cancel{\mathrm{km}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\cancel{\mathrm{km}}}=6400000\;\mathrm m=6,4\times 10^{6}\;\mathrm m \end{gather} \]
En utilisant l'équation (III) de la partie précédente
\[ \begin{gather} C=\frac{R}{k_e}\\[5pt] C=\frac{6,4\times 10^6}{9\times 10^9}\\[5pt] C\approx 0,7\times 10^6\times 10^{-9}\\[5pt] \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {C\approx 0,7\times 10^{-3}\;\mathrm F=0,7\;\mathrm{mF}} \end{gather} \]

Remarque: comme 1 farad est une unité très grande, ce résultat nous montre pourquoi l' utilisation de sous-multiples tels que milli (m) = 10−3, micro (μ) = 10−6 ou pico (p) = 10−9 est courante.
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