Leis de Kepler e Gravitação

 

Dois satélites artificiais S1 e S2 gravitam em torno da Terra, em órbitas circulares, a distâncias respectivamente iguais a r1=R e r2=3R de seu centro. Num certo instante, a reta que liga os centros dos satélites é tangente à órbita de S1. Determine nesse instante a distância d entre S1 e S2.

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Marte está 52% mais afastado do Sol do que a Terra. Calcule em anos terrestres, o período do movimento de revolução de Marte em torno do Sol.

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Variações no campo gravitacional na superfície da Terra podem advir de irregularidades na distribuição de sua massa. Considere a Terra como uma esfera de raio R e densidade ρ uniforme, com uma cavidade esférica de raio a, inteiramente contida no seu interior. A distância entre os centros O, da Terra, e C, da cavidade, é d, que pode variar de 0 (zero) até Ra, causando, assim, uma variação no campo gravitacional em um ponto P, sobre a superfície da Terra, alinhado com O e C (veja figura). Seja G1 a intensidade do campo gravitacional em P sem a existência da cavidade na Terra, e G2, a intensidade do campo no mesmo ponto, considerando a existência da cavidade. Qual será o valor máximo da variação relativa: (G1G2)/G1, que se obtém ao deslocar a posição da cavidade.

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esquema da Terra com cavidade de raio a no seu interior
 

Um planeta de massa m descreve uma órbita circular em torno de uma estrela S a uma distância R, com uma velocidade tal que a duração de cada volta é T. O movimento se realiza sob a ação de uma força F de módulo constante, dirigida para S. Representa-se por aCP, EC, V, respectivamente a aceleração, a energia cinética e a velocidade do planeta. Pede-se:
a) Estabelecer a expressão de EC em função de F e R, ou seja EC = f (F,R);
b) Estabelecer em função de R, T e m as expressões de V, aCP e EC, ou seja V = f (R,T,m), aCP = f (R,T,m) e EC = f (R,T,m);
c) Mostrar que F é dado pela expressão F = A*m/R^2 em que A é uma constante;
d) Aplicar as expressões encontradas calculando aCP, F e EC no caso da Terra em torno do Sol. São dados: velocidade da Terra em sua órbita 30 km/s, raio da órbita terrestre 15.10 7 km e massa da Terra 6.10 21 t.

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No filme 2001: Uma Odisseia no Espaço (2001: A Space Odissey de 1968 dirigido por Stanley Kubrick) a nave Discovery One possui uma seção formada por uma centrífuga que gira de modo a produzir gravidade artificial semelhante a gravidade da Lua.

nave Discovery One mostrada em corte lateral e frontal onde está a centrífuga onde vivem os astronautas

Supondo que um astronauta tenha uma altura média de 1,70 m, e sendo que a centrífuga tem um diâmetro de 11,6 m e gira com frequência de 5 rpm, verifique a viabilidade da construção de tal aparelho.

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Calcule o valor da aceleração da gravidade numa estação espacial que orbite a Terra a uma distância de 360 km da superfície (e.g. a Estação Espacial Internacional - International Space Station ISS). Dados raio da Terra 6,37.103 km, massa da Terra 5,97.1024 kg e Constante Gravitacional Universal 6,67.10−11 N.m2/kg2.

Observação: e.g. é a abreviação da expressão em latim "exemplia gratia" que significa "por exemplo".

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Determinar a velocidade angular de rotação de um satélite em torno da Terra supondo uma órbita circular, em função da distância ao centro da Terra.

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