Exercício Resolvido de Centro de Massa
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Um homem de massa m está sentado na popa de um barco em repouso em um lago. A massa do barco é
M = 3m e seu comprimento é L. O homem levanta-se e anda em direção à proa.
Desprezando a resistência da água, determine a distância D que o bote percorre durante o percurso
do homem da popa a proa.
Dados do problema:
- Massa do homem: m;
- Massa do barco: M = 3m;
- Comprimento do barco: L.
A posição do centro de massa de um sistema de dois corpos é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{x_{cm}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Na primeira situação (Figura 1), temos um sistema de referência orientado para a direita com origem na parte
de trás do barco onde o homem está sentado. “Esquecendo” o barco e o homem, e considerando apenas os seus
centros de massa, h para o centro de massa do homem, e B para o centro de massa do barco. O
centro de massa do homem está na posição de origem do sistema, xh=0, e o centro de massa do
barco, de comprimento L, está na metade do seu comprimento,
\( x_{B}=\frac{L}{2} \).
Assim substituindo esses valores e as massas dadas no problema na expressão (I), temos o centro
de massa do conjunto homem-barco na situação inicial
\[
\begin{gather}
x_{i}=\frac{mx_{h}+Mx_{B}}{m+M}\\[5pt]
x_{i}=\frac{m.0+3m\dfrac{L}{2}}{m+3m}\\[5pt]
x_{i}=\frac{3\cancel{m}\dfrac{L}{2}}{4\cancel{m}}\\[5pt]
x_{i}=\frac{3L}{8} \tag{II}
\end{gather}
\]
Na segunda situação (Figura 1), o homem andou para frente o comprimento L do barco, enquanto isso o barco andou uma certa distância D para trás. Assim o centro de massa do homem está agora na posição \( x_{h}=L-D \) e o centro de massa do barco está em \( x_{B}=\dfrac{L}{2}-D \), novamente substituindo esses valores na expressão (I) temos a posição do centro de massa para a situação final
\[
\begin{gather}
x_{f}=\frac{mx_{h}+Mx_{B}}{m+M}\\[5pt]
x_{f}=\frac{m(L-D)+3m\left(\dfrac{L}{2}-D\right)}{m+3m}\\[5pt]
x_{f}=\frac{mL-mD+3m\dfrac{L}{2}-3mD}{4m}\\[5pt]
x_{f}=\frac{\dfrac{2mL-2mD+3mL-6mD}{2}}{4m}\\[5pt]
x_{f}=\frac{5\cancel{m}L-8\cancel{m}D}{8\cancel{m}}\\[5pt]
x_{f}=\frac{5L-8D}{8} \tag{III}
\end{gather}
\]
O problema nos diz que o barco está em repouso na situação inicial, como o centro de
massa do conjunto homem-barco não se desloca podemos igualar as expressões
(II) e (III)
\[
\begin{gather}
x_{i}=x_{f}\\[5pt]
\frac{3L}{\cancel{8}}=\frac{5L-8D}{\cancel{8}}\\[5pt]
3L=5L-8D\\[5pt]
8D=5L-3L\\[5pt]
8D=2L\\D=\frac{2L}{8}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{D=\frac{L}{4}}
\end{gather}
\]
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