Uma partícula com carga
q1 = 1 μC e massa 5 g é lançada na direção radial de outra
partícula, com carga
q2 = 6 μC e fixa no espaço, a velocidade de lançamento é de 12 m/s
de uma distância de 0,3 m. Determinar a que distância da partícula fixa a partícula lançada vai ter
velocidade nula. Considere o meio o vácuo onde a constante eletrostática vale
\( k_{0}=9.10^{9}\frac{\;\text{N m}^{2}}{\text{C}^{2}} \)
e despreze efeitos gravitacionais.
Dados do problema:
- Carga 1: q1 = 1 μC;
- Carga 2: q2 = 6 μC;
- Velocidade inicial da carga 1: vi = 12 m/s;
- Velocidade final da carga 1: vf = 0;
- Distância inicial da carga 1: di = 0,3 m;
- Massa da carga 1: m = 5 g;
- Constante eletrostática do vácuo: \( k_{0}=9.10^{9}\frac{\;\text{N m}^{2}}{\text{C}^{2}} \).
Esquema do problema:
A carga 2 é positiva,
q2 > 0, então ela gera um campo elétrico de afastamento, apontando
para fora da carga. A carga 1 é lançada radialmente então segue uma linha de campo, como a carga é positiva,
q1 > 0, e como
\( \vec{F}=q\vec{E} \),
a força elétrica sobre a carga 1 tem a mesma direção e sentido do campo elétrico. A carga é lançada no
sentido oposto ao campo ela sofrerá uma desaceleração devido à força elétrica até parar.
Solução
Em primeiro lugar vamos converter a unidade de massa dada em gramas (g) para quilogramas (kg) usado no
Sistema Internacional (
S.I.).
\[
m=5\;\text{g}=5.10^{-3}\;\text{kg}
\]
Inicialmente a partícula 1 no ponto
A está sob o potencial,
VA, deste ponto, ao
se deslocar para o ponto
B passa para um potencial,
VB, neste deslocamento há a
realização de um trabalho dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{W_{A}^{B}=q\left(V_{A}-V_{B}\right)} \tag{I}
\end{gather}
\]
Pelo
Teorema da Energia Cinética da
Mecânica Clássica o trabalho para um corpo ir
A até
B é dado pela variação da
Energia Cinética (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{W_{A}^{B}=\frac{mv_{f}^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
Igualando as expressões (I) e (II)
\[
\begin{gather}
q_{1}\left(V_{A}-V_{B}\right)=\frac{mv_{f}^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2} \tag{III}
\end{gather}
\]
O potencial gerado por uma carga em uma posição do espaço é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{V=k_{0}\frac{Q}{r}}
\]
o potencial gerado pela carga 2 nos pontos
A e
B será
\[
\begin{gather}
V_{A}=k_{0}\frac{q_{2}}{d_{i}} \tag{IV-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
V_{B}=k_{0}\frac{q_{2}}{d_{f}} \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IV-a) e (IV-b) na expressão (III)
\[
q_{1}\;\left(k_{0}\frac{q_{2}}{d_{i}}-k_{0}\frac{q_{2}}{d_{f}}\right)=\frac{mv_{f}^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2}
\]
colocando
k0q2 em evidência no lado esquerdo da igualdade e sendo
vf = 0 do lado direito
\[
\begin{gather}
q_{1}k_{0}q_{2}\;\left(\frac{1}{d_{i}}-\frac{1}{d_{f}}\right)=\frac{m .0^{2}}{2}-\frac{mv_{i}^{2}}{2}\\
\frac{1}{d_{i}}-\frac{1}{d_{f}}=-{\frac{mv_{i}^{2}}{2k_{0}q_{1}q_{2}}}\\
\frac{1}{d_{f}}=\frac{1}{d_{i}}+\frac{mv_{i}^{2}}{2k_{0}q_{1}q_{2}}
\end{gather}
\]
substituindo os valores numéricos dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{1}{d_{f}}=\frac{1}{3.10^{-1}}+\frac{5.10^{-3}.12^{2}}{2.9.10^{9}.1.10^{-6}.6.10^{-6}}\\[5pt]
\frac{1}{d_{f}}=\frac{10}{3}+\frac{5.144.10^{-3}}{108.10^{-3}}\\[5pt]
\frac{1}{d_{f}}=\frac{10}{3}+\frac{720}{108}
\end{gather}
\]
simplificando a fração
\( \dfrac{720}{108} \)
dividindo o denominador e numerador por 36,
\( \dfrac{720:36}{108:36}=\dfrac{20}{3} \)
\[
\begin{gather}
\frac{1}{d_{f}}=\frac{10}{3}+\frac{20}{3}\\
\frac{1}{d_{f}}=\frac{30}{3}\\
d_{f}=\frac{3}{30}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{d_{f}=0,1\;\text{m}}
\]