Exercício Resolvido de Trabalho e Potencial Elétrico
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Duas gotas de água, isoladas, cujos raios são 0,4 mm e 0,6 mm, são carregadas respectivamente com 8.10−8 C e 1,2.10−7 C. Calcule o potencial da gota que se forma pela união das duas gotas.
Dados do problema:
- Raio da gota 1: r1 = 0,4 mm;
- Carga 1: q1 = 8.10−8 C;
- Raio da gota 2: r2 = 0,6 mm;
- Carga 2: q2 = 1,2.10−7 C;
- Assumindo que sistema está no vácuo então adotamos a Constante Eletrostática: \( k_{0}=9.10^{9}\frac{\;\text{N m}^{2}}{\text{C}^{2}} \).
Solução
Em primeiro lugar devemos converter as unidades dos raios das gotas dados em milímetros (mm) para metros (m), usado no Sistema Internacional (S.I.)
\[
\begin{gather}
1\;\text{mm}=10^{-3}\;\text{m}\\[8pt]
r_{1}=0,4\;\text{mm}=4.10^{-1}.10^{-3}\;\text{m}=4.10^{-4}\;\text{m}\\[8pt]
r_{2}=0,6\;\text{mm}=6.10^{-1}.10^{-3}\;\text{m}=6.10^{-4}\;\text{m}
\end{gather}
\]
O potencial de um condutor esférico é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=k_{0}\frac{Q}{r}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Como a carga se conserva, a carga da gota formada pela união das gotas primitivas será a soma das cargas de
cada uma das gotas
\[
\begin{gather}
Q=q_{1}+q_{2} \tag{II}
\end{gather}
\]
O volume, v, da nova gora será a soma dos volumes das gotas iniciais, v1 e
v2
\[
\begin{gather}
v=v_{1}+v_{2} \tag{III}
\end{gather}
\]
O volume de uma esfera é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{4}{3}\pi r^{3}}
\]
Os volumes das gotas iniciais e da gota resultante da união, consideradas esféricas, são dados por
\[
\begin{gather}
v=\frac{4}{3}\pi R^{3} \tag{IV-a}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{1}=\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3} \tag{IV-b}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{2}=\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3} \tag{IV-c}
\end{gather}
\]
substituindo as três expressões (IV-a), (IV-b) e(IV-c) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
\frac{\cancel{4}}{\cancel{3}}\cancel{\pi} R^{3}=\frac{\cancel{4}}{\cancel{3}}\cancel{\pi} r_{1}^{3}+\frac{\cancel{4}}{\cancel{3}}\cancel{\pi} r_{2}^{3}\\
R^{3}=r_{1}^{3}+r_{2}^{3}\\
R=\sqrt[{3\;}]{r_{1}^{3}+r_{2}^{3}\;} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressões (II) e (V) na expressão (I)
\[
V=k_{0}\frac{q_{1}+q_{2}}{\sqrt[{3\;}]{r_{1}^{3}+r_{2}^{3}\;}}
\]
substituindo os valores numéricos do problema
\[
\begin{gather}
V=9.10^{9}.\frac{8.10^{-8}+1,2.10^{-7}}{\sqrt[{3\;}]{\left(4.10^{-4}\right)^{3}+\left(6.10^{-4}\right)^{3}\;}}\\[5pt]
V=9.10^{9}.\frac{8.10^{-8}+12.10^{-8}}{\sqrt[{3\;}]{64.10^{-12}+216.10^{-12}\;}}\\[5pt]
V=9.10^{9}.\frac{20.10^{-8}}{\sqrt[{3\;}]{280.10^{-12}\;}}\\[5pt]
V=9.10^{9}.\frac{20.10^{-8}}{6,5.10^{-4}}\\[5pt]
V=\frac{180.10}{6,5.10^{-4}}\\[5pt]
V=\frac{180.10.10^{4}}{6,5}\\[5pt]
V=28.10.10^{4}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{V\simeq 2,8.10^{6}\;\text{V}}
\]
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