Uma carga Q = −3 μC está fixa em um ponto O do espaço. Os pontos A,
B e C distam, respectivamente, 1,0 m, 3,0 m e 6,0 m de O. A carga está colocada
no vácuo, onde
\( k_{0}=9.10^{9}\;\frac{\text{N.m}^{2}}{\text{C}^{2}} \).
a) Calcular e representar o vetor campo elétrico em B.
b) Qual o potencial eletrostático em B?
c) Qual a energia potencial de uma partícula de q = −5 nC colocada em C? Considere
a energia potencial igual a zero no infinito;
d) Qual o trabalho de um operador, necessário para trazer a partícula q do infinito até o ponto
C?
e) Qual o trabalho da força elétrica nesse deslocamento?
f) Qual o trabalho de um operador quando q é deslocada de C até A?
g) Qual o trabalho da força elétrica nesse deslocamento?
Dados do problema:
- Carga Q: Q = −3 μC = −3.10−6 C;
- Carga q: q = −5 nC = −3.10−9 C;
- Distância \( \overline{OA} \): rA = 1,0 m;
- Distância \( \overline{OB} \): rB = 3,0 m;
- Distância \( \overline{OC} \): rC = 6,0 m.
Solução
a) O campo elétrico é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{E=k_{0}\frac{q}{r^{2}}}
\]
\[
\begin{gather}
E_{B}=k_{0}\frac{Q}{r_{B}^{2}}\\
E_{B}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{3,0^{2}}\\
E_{B}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{9,0}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{E_{B}=-3.10^{3}\;\frac{\text{N}}{\text{C}}}
\]
Como a carga elétrica é negativa, Q < 0, então ela gera um campo de aproximação que aponta no
sentido da própria carga (Figura 1).
b) O potencial eletrostático é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{V=k_{0}\frac{Q}{r}}
\]
\[
\begin{gather}
V_{B}=k_{0}\frac{Q}{r_{B}}\\
V_{B}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{3,0}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{V_{B}=-9.10^{3}\;\text{V}}
\]
c) Sendo a energia potencial igual a zero no infinito, a energia potencial no ponto
C será
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{U=k_{0}\frac{Qq}{r}}
\]
\[
\begin{gather}
U_{C}=k_{0}\frac{Qq}{r_{C}}\\
U_{C}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right).\left(-5.10^{-9}\right)}{6,0}\\
U_{C}=\frac{135.10^{-6}}{6,0}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{U_{C}=2,3.10^{-5}\;\text{J}}
\]
d) O trabalho do operador para trazer uma partícula do infinito até o ponto
P,
\( {_{op}}{}{}{W}{_{\infty }^{P}} \),
é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{{_{op}}{}{}{W}{_{\infty }^{P}}=qV_{P}} \tag{I}
\end{gather}
\]
para o cálculo do trabalho precisamos encontrar primeiro potencial no ponto
C,
VC
\[
\begin{gather}
V_{C}=k_{0}\frac{Q}{r_{C}}\\
V_{C}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{6,0}\\
V_{C}=-4,5.10^{3}\;\text{V}
\end{gather}
\]
substituindo este valor na expressão (I)
\[
\begin{gather}
{_{op}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=qV_{C}\\
{_{op}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left(-4,5.10^{3}\right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{{_{op}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=2,3.10^{-5}\;\text{J}}
\]
e) A carga elétrica
Q gera no ponto
C um campo de aproximação, assim com o calculado no
item (a) para o ponto
B. A carga
q tem valor negativo,
q < 0, então a força que
atua nesta carga é no sentido oposto ao do campo, é uma força de afastamento (Figura 2).
Como a carga se desloca no sentido contrário ao da força, o trabalho realizado pelo campo elétrico será
negativo, e de mesmo módulo ao calculado no item anterior.
\[
{_{el}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=-{_{op}}{}{}{W}{_{\infty }^{C}}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{{_{el}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=-2,3.10^{-5}\;\text{J}}
\]
f) Como o
campo elétrico é conservativo o trabalho para deslocar uma carga elétrica entre dois pontos
do espaço não depende do caminho escolhido (em vermelho na Figura 3),
depende apenas da diferença de
potencial dos pontos escolhidos. O deslocamento neste caso se dá contra a direção da força e o trabalho
do operador será positivo,
\( {_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}} > 0 \).
\[
\begin{gather}
{_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=q\left(V_{A}-V_{C}\right) \tag{II}
\end{gather}
\]
para o cálculo do trabalho devemos achar o valor do potencial em
A
\[
\begin{gather}
V_{A}=k_{0}\frac{Q}{r_{A}}\\
V_{A}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{1,0}\\
V_{A}=27.10^{3}\;\text{V}
\end{gather}
\]
substituindo este valor na expressão (II) e o valor de
VC encontrado anteriormente temos
que o trabalho para levar uma carga do ponto
C até
A será
\[
\begin{gather}
{_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left[-27.10^{3}-\left(-4,5.10^{3}\right)\right]\\
{_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left[\left(-27+4,5\right).10^{3}\right]\\
{_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left(-22,5.10^{3}\right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{{_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=1,1.10^{-4}\;\text{J}}
\]
g) Como a carga se desloca no sentido contrário ao da força elétrica o trabalho do campo elétrico será
negativo,
\( {_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}} < 0 \)
\[
\begin{gather}
{_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=q\left(V_{C}-V_{A}\right)\\
{_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left[-4,5.10^{3}-\left(-27.10^{3}\right)\right]\\
{_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left[\left(-4,5+27\right).10^{3}\right]\\
{_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left(22,5.10^{3}\right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{{_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=-1,1.10^{-4}\;\text{J}}
\]