Exercício Resolvido de Trabalho e Potencial Elétrico
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Uma carga Q = −3 μC está fixa em um ponto O do espaço. Os pontos A, B e C distam, respectivamente, 1,0 m, 3,0 m e 6,0 m de O. A carga está colocada no vácuo, onde \( k_{0}=9.10^{9}\;\frac{\text{N.m}^{2}}{\text{C}^{2}} \).
a) Calcular e representar o vetor campo elétrico em B.
b) Qual o potencial eletrostático em B?
c) Qual a energia potencial de uma partícula de q = −5 nC colocada em C? Considere a energia potencial igual a zero no infinito;
d) Qual o trabalho de um operador, necessário para trazer a partícula q do infinito até o ponto C?
e) Qual o trabalho da força elétrica nesse deslocamento?
f) Qual o trabalho de um operador quando q é deslocada de C até A?
g) Qual o trabalho da força elétrica nesse deslocamento?



Dados do problema:
  • Carga Q:    Q = −3 μC = −3.10−6 C;
  • Carga q:    q = −5 nC = −3.10−9 C;
  • Distância \( \overline{OA} \):    rA = 1,0 m;
  • Distância \( \overline{OB} \):    rB = 3,0 m;
  • Distância \( \overline{OC} \):    rC = 6,0 m.
Solução

a) O campo elétrico é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {E=k_{0}\frac{q}{r^{2}}} \]
\[ \begin{gather} E_{B}=k_{0}\frac{Q}{r_{B}^{2}}\\ E_{B}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{3,0^{2}}\\ E_{B}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{9,0} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {E_{B}=-3.10^{3}\;\frac{\text{N}}{\text{C}}} \]
Como a carga elétrica é negativa, Q < 0, então ela gera um campo de aproximação que aponta no sentido da própria carga (Figura 1).
Figura 1

b) O potencial eletrostático é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {V=k_{0}\frac{Q}{r}} \]
\[ \begin{gather} V_{B}=k_{0}\frac{Q}{r_{B}}\\ V_{B}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{3,0} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {V_{B}=-9.10^{3}\;\text{V}} \]

c) Sendo a energia potencial igual a zero no infinito, a energia potencial no ponto C será
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {U=k_{0}\frac{Qq}{r}} \]
\[ \begin{gather} U_{C}=k_{0}\frac{Qq}{r_{C}}\\ U_{C}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right).\left(-5.10^{-9}\right)}{6,0}\\ U_{C}=\frac{135.10^{-6}}{6,0} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {U_{C}=2,3.10^{-5}\;\text{J}} \]

d) O trabalho do operador para trazer uma partícula do infinito até o ponto P,   \( {_{op}}{}{}{W}{_{\infty }^{P}} \),   é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{_{op}}{}{}{W}{_{\infty }^{P}}=qV_{P}} \tag{I} \end{gather} \]
para o cálculo do trabalho precisamos encontrar primeiro potencial no ponto C,   VC
\[ \begin{gather} V_{C}=k_{0}\frac{Q}{r_{C}}\\ V_{C}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{6,0}\\ V_{C}=-4,5.10^{3}\;\text{V} \end{gather} \]
substituindo este valor na expressão (I)
\[ \begin{gather} {_{op}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=qV_{C}\\ {_{op}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left(-4,5.10^{3}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {{_{op}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=2,3.10^{-5}\;\text{J}} \]

e) A carga elétrica Q gera no ponto C um campo de aproximação, assim com o calculado no item (a) para o ponto B. A carga q tem valor negativo, q < 0, então a força que atua nesta carga é no sentido oposto ao do campo, é uma força de afastamento (Figura 2).
Como a carga se desloca no sentido contrário ao da força, o trabalho realizado pelo campo elétrico será negativo, e de mesmo módulo ao calculado no item anterior.

Figura 2
\[ {_{el}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=-{_{op}}{}{}{W}{_{\infty }^{C}} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {{_{el}}{}{}{W}{_{\infty}^{C}}=-2,3.10^{-5}\;\text{J}} \]

f) Como o campo elétrico é conservativo o trabalho para deslocar uma carga elétrica entre dois pontos do espaço não depende do caminho escolhido (em vermelho na Figura 3), depende apenas da diferença de potencial dos pontos escolhidos. O deslocamento neste caso se dá contra a direção da força e o trabalho do operador será positivo, \( {_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}} > 0 \).
\[ \begin{gather} {_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=q\left(V_{A}-V_{C}\right) \tag{II} \end{gather} \]
para o cálculo do trabalho devemos achar o valor do potencial em A
\[ \begin{gather} V_{A}=k_{0}\frac{Q}{r_{A}}\\ V_{A}=9.10^{9}.\frac{\left(-3.10^{-6}\right)}{1,0}\\ V_{A}=27.10^{3}\;\text{V} \end{gather} \]
substituindo este valor na expressão (II) e o valor de VC encontrado anteriormente temos que o trabalho para levar uma carga do ponto C até A será
Figura 3
\[ \begin{gather} {_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left[-27.10^{3}-\left(-4,5.10^{3}\right)\right]\\ {_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left[\left(-27+4,5\right).10^{3}\right]\\ {_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left(-22,5.10^{3}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {{_{op}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=1,1.10^{-4}\;\text{J}} \]

g) Como a carga se desloca no sentido contrário ao da força elétrica o trabalho do campo elétrico será negativo,   \( {_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}} < 0 \)
\[ \begin{gather} {_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=q\left(V_{C}-V_{A}\right)\\ {_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left[-4,5.10^{3}-\left(-27.10^{3}\right)\right]\\ {_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left[\left(-4,5+27\right).10^{3}\right]\\ {_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=\left(-5.10^{-9}\right).\left(22,5.10^{3}\right) \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {{_{el}}{}{}{W}{_{C}^{A}}=-1,1.10^{-4}\;\text{J}} \]
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