Um fio com área de seção transversal 0,50.10
−2 cm
2, é percorrido por uma corrente
contínua de intensidade igual a 4,0 A. Dada a carga elementar 1,6.10
−19 C, determinar:
a) O número de elétrons passando por uma seção transversal por segundo;
b) A velocidade média dos elétrons, sabendo que existem 1,8.10
20 elétrons/cm
3.
Dados do problema:
- Área transversal do fio: A = 0,50.10−2cm2;
- Corrente elétrica: i = 4,0 A;
- Carga elementar: e = 1,6.10−19 C.
Solução
a) Na Figura 1 os elétrons se deslocam atravessando uma seção transversal, destacada em cinza. A corrente
elétrica é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{i=\frac{\Delta q}{\Delta t}} \tag{I}
\end{gather}
\]
A quantidade de carga que atravessa uma determinada seção é dada por
\[
\begin{gather}
\Delta q=n{\mathrm e} \tag{II}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (II) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
i=\frac{n{\mathrm e}}{\Delta t}\\
n=\frac{i\Delta t}{\mathrm e}
\end{gather}
\]
substituindo os dados do problema para Δ
t = 1 s
\[
\begin{gather}
n=\frac{4.1}{1,6.10^{-19}}\\
n=\frac{4.10^{19}}{1,6}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{n=2,5.10^{19}\;\text{elétrons}}
\]
b) A velocidade média é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v_{m}=\frac{\Delta S}{\Delta t}} \tag{III}
\end{gather}
\]
então um elétron que passe pela seção transversal do fio num determinado instante vai percorrer
uma distância Δ
S num intervalo de tempo Δ
t, o elétron passa então por
uma outra seção transversal. Estas duas seções transversais determinam um cilindro no fio de
volume
V dado por (Figura 2)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=Bh} \tag{IV}
\end{gather}
\]
onde
B é a área da base do cilindro, área da seção transversal do fio
B =
A,
e
h é o deslocamento do elétron,
h = Δ
S, substituindo esses valores na
expressão (IV)
\[
\begin{gather}
V=A \Delta S\\
\Delta S=\frac{V}{A} \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (V) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
v_{m}=\frac{V}{A\Delta t} \tag{VI}
\end{gather}
\]
A densidade volumétrica de cargas
d é dada por
\[
d=\frac{n}{V}
\]
onde
n é o número de elétrons contidos no volume
V do cilindro determinado pelas duas
seções transversais no fio
\[
\begin{gather}
V=\frac{n}{d} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo a expressão (VII) na expressão (VI)
\[
v_{m}=\frac{n}{dA\Delta t}
\]
Usando os dados do problema, o valor de
n calculado no item anterior e sendo a velocidade
calculada por unidade de tempo temos Δ
t = 1 s
\[
\begin{gather}
v_{m}=\frac{2,5.10^{19}}{1,8.10^{20}.0,50.10^{-2}.1}\\
v_{m}=\frac{2,5.10^{19}}{9.10^{17}}\\
v_{m}=\frac{2,5.10^{19}.10^{-17}}{9}\\
v_{m}=0,28.10^{2}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{m}=28\;\text{cm/s}}
\]