Exercício Resolvido de Campo Magnético
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Duas espiras circulares iguais E1 e E2, situadas em planos perpendiculares com centros coincidentes e raios R=5 π cm, são percorridas pelas correntes i1=3 A e i2=4 A, indicadas na figura. Sendo \( \mu_{0}=4\pi .10^{-7}\,\frac{\text{T.m}}{\text{A}} \). Determine o vetor campo magnético no centro O.

Dados do problema:
  • Raio das espiras:    R = 5 π cm;
  • Corrente na espira 1:    i1 = 3 A;
  • Corrente na espira 2:    i2 = 4 A;
  • Permeabilidade magnética do vácuo:    \( \mu_{0}=4\pi .10^{-7}\,\frac{\text{T.m}}{\text{A}} \).
Solução

Em primeiro lugar devemos converter a unidade do raio das espiras dadas em centímetros (cm) para metros (m) usados no Sistema Internacionais (S.I.).
\[ R=5\pi \;\cancel{\text{cm}}.\frac{1\;\text{m}}{100\;\cancel{\text{cm}}}=0,05\pi\;\text{m}=5.10^{-2}\pi \;\text{m} \]
O campo gerado pela corrente i1 no centro da espira E1 pode ser obtido pela aplicação da regra da mão direita. Colocando-se o dedo polegar na direção da corrente i1 os demais dedos irão indicar a direção do campo, que neste caso será perpendicular ao plano da espira e com sentido para “dentro” (Figura 1).
O módulo do campo magnético B é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {B=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{i}{r}} \tag{I} \end{gather} \]

Figura 1

Para o campo magnético B1, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} B_{1}=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{i_{1}}{r_{1}}\\ B_{1}=\frac{4\pi.10^{-7}}{2}.\frac{3}{5\pi.10^{-2}}\\ B_{1}=\frac{12.10^{-7}}{10.10^{-2}}\\ B_{1}=12.10^{-7}.10\\ B_{1}=12.10^{-6}\;\text{T} \\ B_{1}=1,2.10^{-5}\;\text{T} \tag{II} \end{gather} \]
O campo gerado pela corrente i2 no centro da espira E2 pode ser obtido pela aplicação da regra da mão direita. Colocando-se o dedo polegar na direção da corrente i2 os demais dedos irão indicar a direção do campo, que neste caso será perpendicular ao plano da espira e com sentido para “baixo” (Figura 2).
Para o campo magnético B2, aplicando a expressão (I)
\[ \begin{gather} B_{2}=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{i_{1}}{r_{1}}\\ B_{2}=\frac{4\pi.10^{-7}}{2}.\frac{4}{5\pi.10^{-2}}\\ B_{2}=\frac{16.10^{-7}}{10.10^{-2}}\\ B_{2}=16.10^{-7}.10\\ B_{2}=16.10^{-6}\;\text{T}\\ B_{2}=1,6.10^{-5}\;\text{T} \tag{III} \end{gather} \]

Figura 2

Os vetores campo magnético, gerados pelas correntes que percorrem as espiras 1 e 2, no centro do sistema são mostrados na Figura 3-A. Desenhando esses vetores num sistema de eixos coordenado tridimensional xyz (Figura 3-B), obtemos o vetor campo magnético resultante \( \vec{B} \) que forma um ângulo θ como a direção vertical z.

Figura 3

Podemos calcular o módulo do campo magnético resultante usando o Teorema de Pitágoras (Figura 3-C)
\[ \begin{gather} B^{2}=B_{1}^{2}+B_{2}^{2}\\ B^{2}=\left(1,2.10^{-5}\right)^{2}+\left(1,6.10^{-5}\right)^{2}\\ B^{2}=144.10^{-10}+2,56.10^{-10}\\ B^{2}=4,0.10^{-10}\\ B=\sqrt{\;4,0.10^{-10}\;}\\ B=2,0.10^{-5}\;\text{T} \end{gather} \]
O ângulo θ pode será
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\\ \operatorname{tg}\theta =\frac{1,2.10^{-5}}{1,6.10^{-5}}\\ \operatorname{tg}\theta=0,75\\ \theta =\operatorname{arctg}(0,75)\simeq 37° \end{gather} \]
assim o campo magnético no centro do sistema pode ser caracterizado por

Intensidade: B = 2.10−5 T ;
Direção: formando um ângulo de aproximadamente 37º como o eixo-z ;
Sentido: para “baixo” do eixo-z .
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